Deje $\mathcal{M}$ ser un simplicial modelo de la categoría y deje $\mathbb{C}$ ser una pequeña categoría. Un diagrama de $F : \mathbb{C} \to \mathcal{M}$ y un peso $G : \mathbb{C}^\mathrm{op} \to \mathbf{sSet}$, vamos a $B_{\bullet} (G, \mathbb{C}, F)$ denotar las dos caras simplicial la construcción de la barra, que se da en el nivel de $n$ por la siguiente fórmula: $$B_n (G, \mathbb{C}, F) = \coprod_{(c_0, \ldots, c_n)} (G c_n \times \mathbb{C} (c_{n-1}, c_n) \times \cdots \times \mathbb{C}(c_0, c_1)) \odot F c_0$$ Si no me equivoco, $B_\bullet (G, \mathbb{C}, F)$ es Reedy-cofibrant al $F c$ es cofibrant para todos los $c$$\mathbb{C}$.
Pregunta. Es la afirmación correcta? Hay una prueba en la literatura?
El caso especial donde $G$ es constante con valor de $\Delta^0$ se prueba como Lema 5.2.1 en [Riehl, Categórica homotopy teoría] y esencialmente se reduce a la observación de que el $n$-ésimo objeto de enganche para $B_{\bullet} (G, \mathbb{C}, F)$ es la parte de la subproducto indexado más de los degenerados $n$-simplices del nervio $N(\mathbb{C})$. Tan lejos como puedo ver la misma prueba también funciona para el caso general, a excepción de tener que invocar axioma SM7 para asegurarse de que los sumandos de $B_n (G, \mathbb{C}, F)$ son cofibrant en $\mathcal{M}$.
