Cómo derivar esta fórmula: $\int_a^bf(c-x)dx = \int_{c-b}^{c-a}f(x)dx$ ?

Question

Estoy atascado en este ejercicio:

$$\int_a^bf(c-x)dx = \int_{c-b}^{c-a}f(x)dx$$

Mi intento es este:

$$$$ \begin{align*} \int_a^bf(c-x)dx &= - \int_{-a}^{-b}f(x-c)dx\\ &= \int_{-b}^{-a}f(x-c)dx \end{align*} $$$$

Pero en este momento no estoy seguro de qué hacer. A mi entender si uno quiere integrar $f(x-c)$ que se desplaza a la derecha, sería lo mismo que integrar $f(x)$ con el intervalo de integración desplazado hacia la izquierda:

$$= \int_{-b-c}^{-a-c}f(x)dx$$

Pero esa no parece ser la respuesta correcta.

Answer 1

Realice la sustitución $y=c-x$ . El límite superior de su integral $x=b$ está cambiando a $y=c-b$ . Además, el límite inferior $x=a$ se transforma en $y=c-b$ . También el diferencial $dx$ se modifica; se deriva $y$ por $x$ para la constante $c$ y se obtiene $dy=-dx$ .

Answer 2

Digamos lo que hay que hacer, cómo se sigue naturalmente y luego por qué las afirmaciones son ciertas. En primer lugar, como la segunda ecuación sólo contiene $x$ en el $f(x)$ y una integral definida no depende realmente de la variable con respecto a la cual se está integrando (la variable es realmente una etiqueta para la integral), se puede pensar en una sustitución casi natural de $y = c-x$ . Permítanme elaborar lo que sucede con esto; el punto crucial es que nada ha cambiado con la integral, como en nuestra antigua integral, $x$ recorre los valores de $a$ a $b$ la nueva variable sustituida $y = c-x$ recorre los valores de $c-b$ a $c-a$ sin embargo, la dirección de los valores ha cambiado debido al signo negativo delante del $x$ en la expresión $f(c-x)$ . Por lo tanto, la integral del lado izquierdo es realmente la misma que la del lado derecho, escrita de forma diferente. No se ha simplificado ni operado, ni nada con la serie de operaciones de sustitución. Es mejor tener esa imagen en la mente, al menos en funciones de valor real como éstas. Aunque la misma imagen es de mucha ayuda en la integración multivariante también.