Los tensores y la Relatividad General

Question

Recientemente he empezado auto el estudio de la relatividad general, utilizando la mayoría de los materiales que se encuentran en Robert Wald de la "Relatividad General", y casi justo fuera de la puerta, uno se enfrenta a la noción de un tensor. En Wald del libro un $(k,l)$-tensor es simplemente definida como multilineal mapa

$$T : \underset{k-times}{\underbrace{V^*\times \cdots \times V^*}} \times \underset{l-times}{\underbrace{V\times \cdots \times V}} \rightarrow \mathbb{R}$$

donde $V$ es un espacio vectorial sobre los reales y $V^*$ es correspondiente a doble espacio.

Mi problema con los tensores no es tanto lo que son, sino más bien es el resultado de un punto de vista más intuitivo, es decir, por qué el uso de tensores en el primer lugar? Aunque supongo que es probable que si hubiera una mejor comprensión de lo que se iba a ver por qué son útiles.

Sólo para dar un poco de contexto, mi primer roce con los tensores, fue durante un curso de análisis de los colectores y de la discusión general de los tensores de la forma anterior en última instancia conducir a tratar específicamente con formas diferenciales, desde luego esta es la única vez que me he encontrado con ellos. En cualquier caso, tanto en la clase y mi reciente investigación en GR parece ser que los tensores son la herramienta natural para el análisis de los colectores de un diferencial punto de vista, y mi pregunta es: ¿por qué?

A mí me parecen ser exactamente lo que ellos están definidos para ser; multilineal mapas, y yo no veo por qué ellos son el arma de elección, de por sí, para lidiar con este tipo de "pequeños (diferencial) el tipo de cambios".

Si se ha encontrado nada que nos ayuda en la construcción de la intuición de por qué los tensores son útiles en este contexto, me encantaría escuchar/leer, y sería muy apreciado.

Answer 1

Hay varias propiedades del tensor de que vemos reflejado en cantidades físicas en el mundo real:

Sistema de coordenadas de la independencia: un tensor de los componentes de transformar precisamente a contrarrestar cómo vector y covector componentes de transformar en virtud de un cambio de sistema de coordenadas. Esto sugiere que el tensor es un objeto en sí mismo, no vinculadas a un determinado sistema de coordenadas, y tal noción jives con lo que podemos esperar de el mundo real: física, cantidades medibles no dependen del sistema de coordenadas elegido.

La generalización de los vectores y matrices: Totalmente antisimétrico tensores corresponden a las "cuchillas": planos y volúmenes y la manera en que se pueden agregar o multiplicado por escalares en la misma forma que lo haría con los vectores, y con similar significado geométrico. Las cuchillas son muy importantes en el tipo de tensor, y se encuentran entre los más fáciles de tensores para visualizar.

Para matrices, considere la posibilidad de que un general de la matriz puede ser visto como un lineal mapa de un vector y un covector que produce un número: si $\omega$ es un covector y $v$ un vector con $M$ una matriz, a continuación, $\omega(M(v))$ es que escalar, y que podemos identificar con un tensor $m$ tal que $m(v, \omega)= \omega(M(v))$. General de los tensores, simplemente se puede tomar más argumentos posibles. Incluso podría decirse que toma blades como argumentos en lugar de la llanura de vectores (el tensor de Riemann de campo, por ejemplo, puede decirse que toma un 2-blade--una orientada al avión-como un argumento).

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En el contexto de la geometría diferencial, usted tendrá que tratar con una mezcla de hojas y otros más generales de los tensores. Por ejemplo, todas orientadas al colector de dimensión $n$ $n$- hoja que describe su orientación: una curva tiene un vector tangente, una superficie tiene un plano tangente, y así sucesivamente. Esta $n$-la cuchilla puede variar en la "dirección" en diferentes puntos. Conocer cómo varía da una gran comprensión de cómo el colector se curva con respecto a su incrustación de objetos (si está incrustado).

Ciertos lineal mapa de hojas que han demostrado ser útiles para hablar acerca de las propiedades de un colector. De nuevo, el tensor de Riemann de campo es el estándar de oro, y que sería mejor servido tratando de entender por qué y cómo este tensor de campo describe la curvatura, cómo el colector de covariante derivados nos dice que, y así sucesivamente. Aquí, me gustaría subestimar la noción de que los tensores como un todo son herramientas poderosas-no son, de verdad-pero específicos de los tensores son, y lo que tienen en común es que ellos nos dan respuestas que son en última instancia un sistema de coordenadas independientes.