El elemento que es un asociado de todo.

Question

Supongamos que tengo un integrante del dominio $R$ que contiene un elemento $a \in R$ con la siguiente propiedad:

$$(\forall r \in R)\, a \text{ is an associate of } r.$$

Es cierto que el anillo debe ser el cero del anillo o el anillo de $\{0,1\}$?

"Asociados" se definen como sigue:

Para $a,b \in R$, $a$ y $b$ son asociados si $a \vert b$$b \vert a$.

He utilizado la relación de equivalencia:

$$a \thicksim b \stackrel{def}\iff \text{$$ and $b$ are associates}.$$

Esto nos deja con $( R\big/\!\sim) = \{ 0 \}$, pero eso no es lo mismo que decir $R$ es el cero del anillo... es?

Answer 1

$R$ debe ser el cero del anillo. He aquí una prueba.

Por definición, si $a$ $b$ están asociados a continuación, cada uno es una unidad múltiple de los otros. En particular para este tipo especial de $a$ tenemos que $b$ puede ser cualquier cosa. Tome $b=0$. A continuación, $a=cb=0$ para algunos de una unidad de $c$, por lo tanto $a=0$. Para ello se utiliza el hecho de que $a$ es un múltiplo de a $b$.

Para terminar la prueba de que $R$ es el cero del anillo, tenga en cuenta que no importa lo $b$ nos elija, debe ser un múltiplo de $a$. Pero $a=0$, por lo tanto $b=0$, lo $0$ es el único elemento de $R$.