Por qué esto es una generalización de los Jóvenes de la desigualdad?

Question

El es la versión estándar de los Jóvenes de la desigualdad $$ab \leq \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$$ para $a,b,p,q >0$ $$\frac{1}{p}+\frac {1}{q}=1$$

Pero hay otra fórmula llamada generalización de los Jóvenes de la desigualdad. Por qué es una generalización?

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deje $f$ denotar un valor real, continua y estrictamente creciente de la función en $[0, c]$$c > 0$$f(0) = 0$.

Deje $f^{−1}$ denotar la función inversa de la $f$. Entonces, para todos los $a ∈ [0, c]$$b ∈ [0, f(c)]$,

$$ab \le \int_{0}^{a} f(x)dx + \int_{0}^{b}f^{-1}(x)dx$$

Answer 1

$$\frac 1p + \frac 1q=1 \implies (p-1)(q-1)=1$$

Ahora vamos a $$f(x)=x^{p-1}$$ $$f^{-1}(x)=x^{\frac 1{p-1}}=x^{q-1}$$