Que los valores de $f$ satisfacción $f(x)=xf(x^2-3)-x$ sabemos?

Question

Mi pregunta es inspirada por Funcional de rompecabezas: encontrar $f(2)$

Una función de $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ satisface $$f(x)=xf(x^2-3)-x$$ para todos los $x$. Para que $x$ es el valor de $f(x)$ conocido?

Sé valores de$f(x)$$x\in\{0,\pm1,\pm2\}$.

Edit: Como @StevenStadnicki observado, un dominio puede ser más pequeños que los reales, por lo que cada sugerencia de cómo de grande puede ser también muy interesante.

Answer 1

Esta pregunta es en realidad menos bien formada de lo que usted piensa que es. Primero de todo, está la cuestión de lo que "para todos los $x$ medios", ya que no es realmente suficiente para especificar un dominio. Para todos los $x\in\mathbb{Z}$? Para todos los $x$$\mathbb{R}$? Una función no es una función a menos que se especifique el dominio y el rango, y esta pregunta, en realidad no.

Pero más allá de eso, usted dice que una función, y que en realidad es otro tema; no sabemos si alguna de dichas $f$ existe, y no sabemos si sólo una $f$ existe.

En el caso de que el dominio de $f()$$\mathbb{Z}$, en particular, parece claro que hay muchas de esas funciones: desde $x^2-3$ como una función es uno a uno de $n\gt 2$ a (pero no en) $\mathbb{N}$, cualquier "forzado" valor de $f()$ en esta región es forzado por un solo valor anterior, y no hay otras dependencias; $f(6)$ se define por $f(3)$, $f(13)$ se define por $f(4)$, etc. Cualquier valor de $f()$ que no está obligado en virtud de tener un argumento de la forma $n^2-3$ es completamente gratuito y puede ser llevado a ser nada en absoluto. Desde que 'la mayoría' (infinitos) los números enteros no son de la forma $n^2-3$, esto le da infinito de grados de libertad; hay o $2^\omega$ o $2^\mathfrak{c}$ tales funciones, dependiendo de si su rango es $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{R}$.

El caso en el que el dominio de $f()$ $\mathbb{R}$ es bastante más interesante; ahora $f()$ es uno-a-uno para $x\gt x_0$ donde $x_0$ el (la más grande) de la solución de $x_0^2-3 = x_0$; esto resulta (por un rápido cuadrática teorema de la aplicación) a $x_0=\frac12(1+\sqrt{13})\approx 2.3$. Por lo que en principio (ver más abajo!) podemos elegir cualquier (medio abierto) intervalo de $[x, x^2-3)$$x\gt x_0$, elija una arbitraria $f()$ en este rango y, a continuación, 'replicar' hacia arriba y hacia abajo usando el funcional de la ecuación para obtener los valores de $f(x)$$x\in(x_0,\infty)$. Usted puede incluso conseguir la continuidad en este dominio mediante la exigencia de que $\lim_{t\to (x^2-3)^-}f(t)$ satisface la ecuación funcional. La rareza de $f()$ puede entonces ser utilizado para reflejar a $x\in(-\infty, -x_0)$.

La captura con el argumento anterior es que la "emoción" en medio de la realidad puede ondulación hacia el exterior; en particular, para los valores de $x$ muy cerca de cero, obtenemos los valores de $x^2-3$ cerca de $-3$ y por lo tanto obtener un funcional de la ecuación de $f()$ cerca de $x=-3$ - o, también, por la reflexión, cerca de $x=3$. Así que no todos los arbitrario de la función se "reflejan" para una válida. En lugar de eso, se necesitaría un análisis cuidadoso del comportamiento de los intervalos en virtud de la asignación de $x\mapsto x^2-3$ (y aún más, el comportamiento en función de la inversa de la cartografía) a fin de determinar 'si 'fundamental regiones existen que puede ser replicado en todo. Sospecho que la estructura sería algo Cantor, pero es difícil para mí, directamente, de " ver " a los correspondientes intervalos en el momento.

Answer 2

Si conoces $x=0$, entonces usted sabe $x^2-3=0\implies x=\pm\sqrt 3$ porque:

$f(\pm \sqrt 3)=\pm \sqrt 3f(0)-\pm \sqrt 3$

Ahora usted puede resolver por $x^2-3=\pm\sqrt3$ con la misma lógica, y así sucesivamente.

Con esto usted puede crear algunos de los conjuntos de respuestas, con las que puede trabajar a más conjuntos(yo no tratamos de encontrar los valores de los conjuntos así que nose si se puede hacer los cálculos)