Suma de $n$ términos y de los infinitos términos de la serie

Question

La suma de $n$ términos de la serie $$\frac{1}{2}+\frac{1}{2!}\left(\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1\cdot 3}{3!}\left(\frac{1}{2}\right)^3+\frac{1\cdot 3 \cdot 5}{4!}\left(\frac{1}{2}\right)^4+\frac{1\cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{5!}\left(\frac{1}{2}\right)^5+....$$

Y también calcular la suma de $\infty$ términos.

$\bf{My\; Try::}$ Podemos escribir por encima de series como $$ 1\underbrace{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2!}\left(\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1\cdot 3}{3!}\left(\frac{1}{2}\right)^3+\frac{1\cdot 3 \cdot 5}{4!}\left(\frac{1}{2}\right)^4+\frac{1\cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{5!}\left(\frac{1}{2}\right)^5+....}_{S_{n}}$$

Así que aquí $$\bf{r^{th}}\; terms \; of \; above\; series (T_{r}) = \frac{1\cdot 3 \cdot 5\cdot \cdot \cdot \cdot (2r-3)}{r!}\cdot \frac{1}{2^r}$$

Por lo $$T_{r} = \frac{1}{3}\left[\frac{1\cdot 3 \cdot 5\cdot \cdot \cdot \cdot (2r-5)}{(r-1)!}\cdot \frac{1}{2^{r-1}}-\frac{1\cdot 3 \cdot 5\cdot \cdot \cdot \cdot (2r-3)}{r!}\cdot \frac{1}{2^r}\right]$$

Por lo $$S_{n} = \sum^{n}_{r=1}T_{r} = \frac{1}{3}\sum^{n}_{r=1}\left[\frac{1\cdot 3 \cdot 5\cdot \cdot \cdot \cdot (2r-5)}{(r-1)!}\cdot \frac{1}{2^{r-1}}-\frac{1\cdot 3 \cdot 5\cdot \cdot \cdot \cdot (2r-3)}{r!}\cdot \frac{1}{2^r}\right]$$

Por lo $$S_{n} = \frac{1}{3}\left[-3-\frac{1\cdot 3 \cdot 5\cdot \cdot \cdot \cdot (2n-3)}{n!}\cdot \frac{1}{2^n}\right] = -1+\frac{1}{3}\frac{1\cdot 3 \cdot 5\cdot \cdot \cdot \cdot (2n-3)}{n!}\cdot \frac{1}{2^n}$$

Así que nuestra Suma es $$=\frac{1}{3}\frac{1\cdot 3 \cdot 5\cdot \cdot \cdot \cdot (2n-3)}{n!}\cdot \frac{1}{2^n}$$

Es mi proceso es correcto o no, Si no ¿cómo puedo calcular, Gracias

Answer 1

Esta serie se ve como \begin{align*} \frac{1}{2}&+\sum_{r=2}^\infty\frac{1}{r!}\left(\frac{1}{2}\right)^r(2r-3)!!\tag{1}\\ &=\frac{1}{2}+\sum_{r=1}^\infty\frac{1}{(r+1)!}\left(\frac{1}{2}\right)^{r+1}(2r-1)!!\\ &=\frac{1}{2}+\sum_{r=1}^\infty\frac{1}{(r+1)!}\left(\frac{1}{2}\right)^{r+1}\frac{(2r)!}{(2r)!!}\tag{2}\\ &=\frac{1}{2}+\sum_{r=1}^\infty\frac{1}{(r+1)!}\left(\frac{1}{2}\right)^{r+1}\frac{(2r)!}{2^rr!}\tag{3}\\ &=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sum_{r=1}^\infty\frac{1}{r+1}\binom{2r}{r}\left(\frac{1}{4}\right)^r\tag{4}\\ &=\frac{1}{2}\sum_{r=0}^\infty\frac{1}{r+1}\binom{2r}{r}\left(\frac{1}{4}\right)^r\\ &=\frac{1}{2}\left.\left(\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\right)\right|_{x=\frac{1}{4}}\tag{5}\\ &=\frac{1}{2}\cdot 2\\ &=1 \end{align*}

Comentario:

• En (1) se utiliza la doble factorial de la notación $(2r-3)!!=(2r-3)\cdot(2r-5)\cdots 5\cdot 3\cdot 1$

• En (2) utilizamos $r!=r!!\cdot(r-1)!!$

• En (3) se utiliza la $(2r)!!=2^r r!$

• En (4) obtenemos el catalán números de $C_r=\frac{1}{r+1}\binom{2r}{r}$

• En (5), usamos la generación de la función de los números de catalán