Otra duda acerca de funciones reales en los colectores

Question

Bien, hace unos días me he preguntado aquí ¿cómo podemos describir las funciones de los colectores. Mi idea era que se podía hacer uso de la de coordinar las funciones de un gráfico: si $(x,U)$ es un gráfico para un colector $M$, entonces podemos definir una función de $f : U \to \Bbb R$ como una combinación de la $x^i$ funciones. Ahora tengo una duda que me parece muy tonto (la respuesta es probablemente obvio, y estoy fallando para ver).

Ahora aquí viene mi duda: vamos a $C^{\infty}(U\subset M,\Bbb R)$ ser el conjunto de todos los lisas funciones definidas en el subconjunto $U$ de un colector $M$ de la dimensión de $n$. He definido un $k$-combinación a ser un mapa

$$c:\prod_{i=1}^k C^{\infty}(U,\Bbb R) \to C^{\infty}(U,\Bbb R)$$

así, por ejemplo, para $k=2$ el mapa de $c(f,g)=\lambda f + \sin \circ g$ $2$- combinación de $f$$g$. Ahora, vamos a $k = n$, entonces trivialmente por la definición tenemos que:

$$c(x^1,\dots,x^n)\in C^\infty(U,\Bbb R)$$

Mi pregunta es: ¿tenemos que para cualquier $f \in C^\infty(U,\Bbb R)$ existe un único $n$-combinación de las funciones de $x^i$ tal que $f = c(x^1,\dots, x^n)$? En otras palabras, tenemos que cualquier función definida en $U\subset M$ es una combinación adecuada de las coordenadas de las funciones?

Muchas gracias de antemano!

Answer 1

Creo que la respuesta a tu pregunta es sí. Supongamos $f: U \subseteq M \rightarrow \mathbb{R}$ donde $M$ es un colector. Deje $p \in U$, entonces, por la definición de un colector, existe (al menos uno) $(V,x)$ un gráfico de coordenadas con $V \subseteq U$. Si $V$ es demasiado grande se puede construir una nueva tabla de intersección y reducir el tamaño del dominio según sea necesario. Nota $$ f|_V = f \circ x^{-1} \circ x $$ lo que significa que la fórmula que el deseo existe localmente en $p$. Ahora, yo no puedo ser capaz de escribir una fórmula para $f$ en términos de las coordenadas de todos los de $U$ ya que es concebible que $U$ debe ser cubierta por varios gráficos.

Pero, tal vez, la verdadera pregunta que usted está pidiendo, es cómo podemos definir una función en términos de algo además de un gráfico de coordenadas en un colector. La respuesta no se da normalmente en términos de la explícita la estructura de un conjunto, como un conjunto de puntos. Por ejemplo, $x+y+z=1$ da un plano de ahí $f(x,y,z) = 2x+2y+z$ es alguna función en el plano (todavía) no se da en el gráfico de coordenadas en el plano( que no he indicado). Sin embargo, es un ejercicio simple para elegir los parámetros para el plano como en la de hacer construir los gráficos que luego puede ser usado para formular $f$. Sé que esto es posible por el argumento general doy al principio de este post.