Solución de la ecuación de Navier-Stokes unidimensional de difusión con límites móviles

Question

Consideremos un fluido incompresible, con viscosidad $\mu$ y la densidad $\rho$ , que fluye verticalmente en un anillo, descrito en coordenadas cilíndricas $$\left\{ r,\theta,z\right\}, \; \text{with } r=a, r=b, \text{ and } b>a$$ en los y las paredes fronterizas que se mueven en función del tiempo.

Simplificando la ecuación de Navier-Stokes donde la velocidad del fluido $\vec{u}=u_{z}(r,t)$ da una forma unidimensional similar a la ecuación de difusión:

$$\frac{\partial u_{z}}{\partial t}=\frac{\mu}{\rho}\left[\frac{1}{r}\frac{\delta u_{z}}{\delta r}+\frac{\partial^{2}u_{z}}{\delta r^{2}}\right],$$

con condiciones de contorno donde $U,\omega$ son constantes:

$$u_{z}(a,t)=Ua\sin(\omega t), u_{z}(b,t)=Ub\sin(\omega t), \text{and }u_{z}(r,0)=0.$$

¿Puede resolverse mediante la separación de variables? ¿Podría la solución para $u_{z}$ dan una relación sigmoidal entre z y t para $0\leq\omega t\leq\pi$

Muchas gracias,

Tiernan

Answer 1

Dejemos que $u_z(r,t)=v_z(r,t)+Ur\sin\omega t$ ,

Entonces $\dfrac{\partial u_z(r,t)}{\partial t}=\dfrac{\partial v_z(r,t)}{\partial t}+U\omega r\cos\omega t$

$\dfrac{\partial u_z(r,t)}{\partial r}=\dfrac{\partial v_z(r,t)}{\partial r}+U\sin\omega t$

$\dfrac{\partial^2u_z(r,t)}{\partial r^2}=\dfrac{\partial^2v_z(r,t)}{\partial r^2}$

$\therefore\dfrac{\partial v_z(r,t)}{\partial t}+U\omega r\cos\omega t=\dfrac{\mu}{\rho}\left(\dfrac{1}{r}\left(\dfrac{\partial v_z(r,t)}{\partial r}+U\sin\omega t\right)+\dfrac{\partial^2v_z(r,t)}{\partial r^2}\right)$

$\dfrac{\partial v_z(r,t)}{\partial t}=\dfrac{\mu}{\rho}\left(\dfrac{\partial^2v_z(r,t)}{\partial r^2}+\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial v_z(r,t)}{\partial r}\right)+\dfrac{U\mu\sin\omega t}{\rho r}-U\omega r\cos\omega t$

con $v_z(a,t)=0$ y $v_z(b,t)=0$