Demostrando que $\sin x \ge \frac{x}{x+1}$

Question

Demostrar que

$$\sin x \ge \frac{x}{x+1}, \space \space\forall x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$

Answer 1

Tome $x \in [0, \pi/2]$. Considere el triángulo rectángulo con lados de $1, x$$\sqrt{1 + x^2}$. El ángulo opuesto al lado con una longitud de $x$ es menor que $x$. De ello se sigue que

$$\sin(x) \geq \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \geq \frac{x}{x + 1}.$$

Answer 2

En el intervalo dado:

$$f(x):=(x+1)\sin x-x\Longrightarrow f'(x)=\sin x+(x+1)\cos x-1\geq 0$$

desde $\,\sin x+(x+1)\cos x\geq 1$$\,[0,\pi/2]\,$.

Por lo tanto, $\,f\,$ es monótona no decreciente en $\,\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]\,$ y por lo tanto

$$f(x)=(x+1)\sin x-x\geq 0=f(0)$$

Answer 3

He demostrado anteriormente (véase mi respuesta para $\lim_{x \to 0}{\frac{x-\sin{x}}{x^3}}=\frac{1}{6}$) que $$\sin\,x\geq x-\frac{1}{6}x^3,\quad x\in[0,\pi/2].$$ A partir de este $$\frac{\sin\,x}{x}\geq 1-\frac{1}{6}x^2.$$ Ahora para $x\in[0,\pi/2]$ hemos $$1-\frac{1}{6}x^2-\frac{1}{x+1}=\frac{1}{6}\cdot\frac{x(6-x^2-x)}{x+1}\geq 0.$$