Límite clásico de la Feynman Ruta Integral

Question

Entiendo que en el límite que h_bar va a cero, el camino de Feynman integral está dominado por la clásica ruta de acceso y, a continuación, utilizando la fase estacionaria aproximación podemos derivar una aproximación para el propagador de la cual es una función de la clásica de la trayectoria (ver http://www.blau.itp.unibe.ch/lecturesPI.pdf pg 46).

Estoy bajo la impresión de que esto implica, además, que la partícula sigue la trayectoria clásica, pero no entiendo cómo el mencionado hecho implica esto.

El propagador describe el tiempo de evolución de la función de onda, así que me gustaría pensar que este límite clásico en forma de el propagador debe dar un tiempo de evolución en el que la función de onda sigue la trayectoria clásica, pero no he sido capaz de encontrar trabajo. Por otra parte, incluso esta declaración en sí es problemático, ya que la función de onda describe una distribución de probabilidad y no de una sola trayectoria.

$\textbf{New Edit:}$ En la sección 7 de Feynman del papel de la introducción de la ruta integral (ver http://imotiro.org/repositorio/howto/artigoshistoricosordemcronologica/1948c%20-FEYNMAN%201948C%20Invention%20of%20the%20path%20integral%20formalism%20for%20quantum%20mechanics.pdf) se analiza el límite clásico. Parece que la clave para entender por qué el hecho de que la clásica ruta domina la ruta integral implica, además, que la partícula sigue la clásica de la trayectoria puede ser encontrado en su comentario en la página 21: "Ahora nos preguntamos, como $\hbar → 0$ lo que los valores de los intermedios de coordenadas $x_i$ más contribuyen fuertemente a la integral? Estos serán los valores más probabilidades de ser encontrado por el experimento y, por tanto, va a determinar, en el límite, la clásica ruta de acceso." Sin embargo, no entiendo por qué "Estos serán los valores más probabilidades de ser encontrado por el experimento" ?

Answer 1

El semiclásica límite que usted describe, dice que la amplitud de una partícula a ir de aquí para allá en un tiempo determinado es igual a la exponencial de la acción clásica de la correspondiente trayectoria clásica. En símbolos esto lee $$\langle x_b|U(T)|x_a\rangle=\int \mathcal{D}\varphi e^{[\phi]/\manejadores} \approx e^{{i}S[\varphi_\textrm{cl}(x_a,x_b,T)]/\manejadores}.$$ En general el estado cuántico, sin embargo, las partículas no están "aquí" y al final no "hay": tienen una inicial de probabilidad de la amplitud de $\langle x|\psi(0)\rangle$, por ser en cada posición $x$ tiempo $t=0$ y tendrá una probabilidad final de la amplitud de $\langle x|\psi(T)\rangle$ por estar en la posición $x$ tiempo $T$. Para aplicar la aproximación, saca el propagador e insertar una resolución de la identidad: $$\langle x|\psi(T)\rangle=\int dy\langle x|U(T)|y\rangle\langle y|\psi(0)\rangle=\int dye^{{i}S[\varphi_\textrm{cl}(y,x,T)]/\hbar}\langle y|\psi(0)\rangle.$$

Para conseguir una completa semiclásica límite, usted también necesita un semiclásica estado inicial (ya que de lo contrario obviamente has conseguido ninguna esperanza!). Toma, entonces, un estado con (relativamente) bien definidas posición y el momento (por supuesto, el estado va a ocupar algunos región finita del espacio de fase, pero generalmente se puede asumir que, en estas circunstancias, que es lo suficientemente pequeño), y esto hará que las amplitudes para los puntos fuera de la clásica trayectoria interferir destructivamente y se desvanecen.

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Entonces, ¿cómo sucede esto? Para uno, $y$ debe estar cerca de la posición inicial, $y_0$ a fin de contribuir a la formación integral. Para pequeños desplazamientos de los extremos, entonces, la acción a lo largo de la trayectoria clásica varía como $$\delta S=p_{\varphi,x}\delta x-p_{\varphi,y}\delta y$$ (cf. Lanczos, The Variational Principles of Mechanics, 4th edition, Dover, eqs 53.3 and 68.1, or simply do the standard integration by parts and set $\int\delta L dx=0$ along the classical trajectory). The main contribution of the initial state to the phase is of the form $e^{ip_\textrm{cl}y}$, lo que significa que la integral tiene más o menos la forma, hasta una fase, $$\langle x|\psi(T)\rangle\approx \int_{y_0-\Delta x/2}^{y_0+\Delta x/2}e^{i(p_{\varphi,y}-p_\textrm{cl})y/\hbar}dy.$$

Aquí el impulso $p_{\varphi,y}$ está determinado por $x$ e (a la orden principal) $y_0$, ya que no hay un único clásica ruta de acceso que se conecta a ellos. Este impulso debe coincidir (precisión $\Delta p\approx \hbar/\Delta x$, el que se supone despreciable en este semiclásica límite) de la clásica impulso del estado inicial, $p_\textrm{cl}$, y por lo tanto sólo los $x$'s en la trayectoria determinada por el estado inicial tendrá un valor distinto de cero amplitudes.

Answer 2

Es NO es cierto en general que la semiclásica límite siempre es dominado por las soluciones estacionarias de la original desnudo de Lagrange. En cambio, el mejor quasiclassical límite se parece más a la de grano grueso de las historias consistentes marco aka decoherent historias a lo largo de la dinámica determinado puntero de base.