Inversa De La Función De La Ecuación Diferencial

Question

Para la ecuación diferencial

$$\frac{d}{dx}[y(x)]=y^{(-1)}(x)$$

donde $y^{(-1)}(x)$ es la inversa de a $y(x)$, hallar y(x).

Me di por vencido en la búsqueda de la solución analíticamente muy rápidamente y decidió que un numérica enfoque podría ser más eficaz. Pero, no estoy seguro de que este problema puede ser resuelto, incluso numéricamente; una de Euler o Runge-Kutta tipo de método no funcionará, porque para encontrar el valor de $y^{(-1)}(a)$, hay que conocer primero el valor de $y(b)$ donde $a$ no es necesariamente igual a $b$. Algo así como tratar de resolver $\frac{d}{dx}[y(x)]=y(x+1)$, no sé de cualquier información numérica de los enfoques que puede manejar un problema de ese tipo.

Si alguien tiene alguna idea sobre cómo esto podría ser resuelto (o se ha demostrado irresoluble), que se agradece. Gracias!

Answer 1

No eres el primero que han reflexionado sobre esta cuestión. La siguiente puede ser de interés para usted:

i) Para bijective $f:x \rightarrow y(x)$. Elementales de matemáticas, fácil de entender:

Inverso de un bijection f es igual a su derivada

ii) Por $f$ diferenciable en a $(0,\infty)$. Esta respuesta, siendo de desbordamiento, es algo más allá de mi ken anywho. La solución con la proporción áurea, sin embargo, está bien.

http://mathoverflow.net/questions/34052/function-satisfying-f-1-f/34095#34095

Espero que esto ayude un poco.