Mínimo y máximo de $ \sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x) $

Question

Quiero encontrar el máximo y el mínimo valor de esta expresión: $$ \sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x) $$

Answer 1

Siguientes George sugerencia,

Debido a $-1\le \sin x \le 1$, e $\sin x$ es estrictamente creciente en a $-1\le x\le 1$, podemos ver que $\sin (\sin x)$ (y, por tanto,$\sin^2(\sin x)$) se maximiza cuando se $\sin x=1$, por ejemplo, en $x=\pi/2$.

Por otro lado, $\cos x$ se maximiza cuando se $x=0$, lo $\cos (\cos x)$ (y, por tanto, $\cos^2(\cos x)$ se maximiza cuando se $\cos x=0$, por ejemplo, en $x=\pi/2$.

Por tanto, la función combinada es máxima en $\pi/2$, cuando se es $1+\sin^21\approx 1.7$.

Para la otra dirección, $x=0$ da $\sin^2(\sin x)=0$, claramente mínimo. Debido a $-1\le \cos x\le 1$, e $\cos x$ es el aumento en $[-1,0)$ y disminuyendo en $(0,1]$, podemos minimizar $\cos x$$x=\pm 1$. Por lo tanto, en particular, $x=0$ minimiza $\cos(\cos x)$ e lo $\cos^2(\cos x)$. La combinación, el valor mínimo es de $0+\cos^21\approx 0.29$

Answer 2

Su expresión se simplifica a

$$1+\cos(2\cos x)-\cos (2\sin x).$$

Optimizamos de $1+\cos u-\cos v$ bajo la restricción $u^2+v^2=4$.

$\cos$ es una función par, por lo que podemos decir que nos optimizar $1+\cos 2u-\cos(2\sqrt{1-u^2})$, $u\in [0,1]$, que debe ser factible.