Encontrar $\lim_\limits{n\to \infty}\{en!\}$.

Question

Encontrar el límite de $\lim_\limits{n\to \infty}\{en!\}$.

$Attempt:$ $\lim_\limits{n\to \infty}\{en!\}=\lim_\limits{n\to \infty}\{(1+{1\over 1!}+{1\over 2!}+{1\over 3!}+...+{1\over n!}+...)n!\}$. La parte de la fracción es lo que me confunde. También no sé si tiene algo que ver con la convergencia de las $\sum n!$. Agradecería su ayuda.

Answer 1

Usted puede escribir $e = \displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}$, de modo que $$en! = \sum_{k=0}^\infty \dfrac{n!}{k!} = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!} + \sum_{k=n+1}^\infty \frac{n!}{k!}$$, de modo que \begin{align*}\{en!\} &= \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)} + \cdots \\ &\le \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+1)^3} + \cdots \\ &= \frac 1n \end{align*} donde la última igualdad proviene de la serie geométrica de la fórmula. Por lo tanto $\{en!\} \to 0$.