la inducción de la prueba: $\sum_{k=1}^nk^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Question

Me encontré con el siguiente de la inducción de la prueba en un examen de práctica para el cálculo:

$$\sum_{k=1}^nk^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Tengo que probar esta afirmación con la inducción.

Puede alguien por favor me ayude con esta prueba?

Answer 1

Si $P(n): \sum_{k=1}^nk^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6},$

vemos a $P(1): 1^2=1$$\frac{1(1+1)(2\cdot1+1)}{6}=1$, $P(1)$ es cierto

Deje $P(m)$ es verdadero, $$\sum_{k=1}^mk^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$$

Para $P(m+1),$

$$ \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}+(m+1)^2$$

$$=\frac{m(m+1)(2m+1)+6(m+1)^2}6$$

$$=\frac{(m+1)\{m(2m+1)+6(m+1)\}}6$$

$$=\frac{(m+1)(m+2)\{2(m+1)+1\}}6$$ as $m(2m+1)+6(m+1)=2m^2+7m+6=(m+2)(2m+3)$

Por eso, $P(m+1)$ es verdadera si $P(m)$ es cierto

Answer 2

\begin{align} \sum_{k=1}^{n+1} k^2 & = \left(\sum_{k=1}^n k^2\right) & {} + (n+1)^2 \\[10pt] & = \underbrace{\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right)} & {} + (n+1)^2\tag{1} \end{align}

Lo que usted necesita es la misma expresión que se ven en los $\underbrace{\text{underbrace}}$, pero con $n+1$ en lugar de $n$. Que sería $$ \frac{[n+1]\Big([n+1]+1\Big)\Big(2[n+1]+1\Big)}{6}.\la etiqueta{2} $$

Así que el problema es demostrar que el $(1)$ es igual a $(2)$. Si usted puede ser más explícito acerca de donde se topó con dificultades, yo podría decir más.

Answer 3

SUGERENCIA: $$\sum_{k=1}^{n+1}k^2=\sum_{k=1}^nk^2+(n+1)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2$$

Ahora simplificar y demostrar que es equivalente a la sustitución de la $n$ $n+1$ en la fórmula original.