Puede una función de "crecer demasiado rápido" para ser real analítica?

Question

¿Existe una función continua $\: f : \mathbf{R} \to \mathbf{R} \:$ tal que para
todos real de la analítica de las funciones de $\: g : \mathbf{R} \to \mathbf{R} \:$, para todos los números reales $x$,
existe un número real $y$ tal que $\: x < y \:$$\: g(y) < f(y) \:$?

Answer 1

No. Sólo si requieren $g$ o de sus coeficientes de ser computables. Supongamos que hay un $f$, entonces sólo podíamos elegir los puntos en $(n,(1+\sup\{ f(z))|n-1<z<n+1\}))$ $n=1,2,3\ldots$ y interpolar.

Answer 2

Recientemente, yo estaba leyendo Hardy Órdenes de Infinito (disponible aquí o aquí):

Godfrey Harold Hardy. Las órdenes de infinito. El Infinitärcalcül de Paul du Bois-Reymond. Reimpresión de la edición de 1910. Cambridge Tratados en Matemáticas y en Física Matemática, Nº 12. Hafner Publishing Co., Nueva York, 1971. MR0349922 (50 #2415).

El libro analiza este resultado, así que pensé que podría valer la pena añadir algunos comentarios:

Teorema (Poincaré). Para cualquier continuo aumento de la $\phi:\mathbb R\to\mathbb R$ siempre podemos encontrar un verdadero analítica de la función $f:\mathbb R\to\mathbb R$ tal que $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{|\phi|}=+\infty$.

Este fue publicado en el American Journal of mathematics, vol. 14, pág. 214. Hardy presenta una prueba debido a Borel, en Leçons sur les séries à termes positifs, p.27:

Podemos reemplazar $\phi$ con un aumento de la función de $\Phi$ que siempre es positivo, es pointwise mayor que $\phi$, y tiende a infinito, y procede a definir $f$ y muestran que $f/\Phi\to\infty$. Tomar un creciente número de secuencia $a_n\to\infty$, y otra secuencia $b_n$ con $$ a_1<b_2<a_2<b_3<a_3<\dots, $$ y definir $$ f(x)=\sum_{n\ge 1}\left(\frac x{b_n}\right)^{\nu_n}, $$ donde los enteros positivos $\nu_n$ son estrictamente creciente, y satisfacer $\displaystyle \left(\frac{a_n}{b_n}\right)^{\nu_n}>\Phi^2(a_n)$. A continuación, $f$ está completo y cumple con la propiedad requerida.

En detalle: La serie converge, ya que, dado cualquier positivos $x$, $n$- ésima raíz de la $n$-ésimo término es en la mayoría de las $x/b_n\to 0$. Si $x\in[a_n,a_{n+1})$,$f(x)>(a_n/b_n)^{\nu_n}$, por lo que $$ f(x)>\Phi^2(a_{n+1})>\Phi^2(x). $$ De ello se desprende que $f/\Phi^2\ge 1$$x\ge a_1$, y desde $\Phi(x)\to\infty$,$f/\Phi\to\infty$, como quería.

Hardy menciona este mientras que hablar de un resultado de du Bois-Reymond: Dadas las funciones $f,g\to\infty$, positiva y creciente, escribir $f\succ g$ fib $f/g\to\infty$.

Teorema (du Bois-Reymond). Dado cualquier "escala ascendente" $(f_n)_{n\in\mathbb N}$, es decir, una secuencia de funciones de $f_n:\mathbb R\to\mathbb R$, todos positivos y aumentando hasta el infinito, y de tal manera que $f_1\prec f_2\prec f_3\dots$, hay una función de $f$ que aumenta más rápido que cualquier función en la escala, es decir, tal que $f\succ f_n$ todos los $n$.

Este resultado fue generalizado por varios autores, comenzando con Hadamard, y finalmente llevó a Hausdorff trabajar en lo que ahora llamamos Hausdorff lagunas.

Answer 3

Simplemente tome $f(x) = \tan(x)$ (definición de la $f(x) = 0$, dicen, cuando se $x$ es un múltiplo entero de $\pi/2$. Pero esto no tiene nada que ver con "creciendo demasiado rápido".