Deje $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ $n$th cyclotomic campo con $n$ ser una potencia de $2$. ¿Cuál es la mejor conocida asintótica límite superior en el número de clase de $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ n crece? Podemos decir algo mejor por lo menos una fracción de los campos. Por ejemplo, podemos decir que una gran parte de estos campos tienen el número de clase delimitada asintóticamente por un polinomio en $n$.
Cualquier heurística?
Deje $h_n$ denotar el número de clase de $\mathbb{Q}(\zeta_n)$. Entonces podemos descomponer $h_n$ en la "parte más" y "menos parte": $$h_n = h^+_n h^-_n,$$ donde $h^+_n$ es el número de clase de la máxima real de subcampo $\mathbb{Q}(\zeta_n + \zeta_n^{-1})$, e $h^-_n$ está definido (algo tautologically) a $h_n / h^+_n$.
El "menos parte" $h^-_n$ es bien entendido, y hasta tenemos un asintótica (véase Washington, "Introducción a la Cyclotomic Campos," pg. 45): $$\log{h^-_n} \sim \frac{1}{4}\phi(n)\log{n},$$ donde $\phi$ es el de Euler totient función.
Por lo tanto, $h^-$ crece exponencialmente en $n$, y no está limitada por cualquier polinomio en $n$.
La "parte positiva" es más complicado. No es una conjetura que se $h^+_n = 1$ si $n$ es una potencia de 2. El más conocido de los límites superiores en dichas $h^+_n$ $n=2^k$ se basan en cyclotomic los reguladores y los límites inferiores de la relación de los reguladores. Pero esto todavía da límites que crecen exponencialmente en $n$, por lo que son bastante pobres. Me puede dar una respuesta más precisa acerca de esto si alguien está interesado.
En cualquier caso, el número de la clase $h_n = h^+_n h^-_n$ crecerá exponencialmente en $n$.
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