¿Cuando uno define el campo de separación para una colección arbitraria de polinomios, cómo uno muestra la singularidad de un campo que? (Estoy adivinando es todavía único). El argumento de inducción utilizado para el caso de un polinomio solo obviamente no funciona. Yo no soy tan entusiasta sobre el uso de inducción del transfinite, tampoco. Pensé de enfoque límite directo pero puesto que el isomorfismo entre la división de campos de un único polinomio no es canónico, no parece trabajar.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La siguiente se puede encontrar en varios lugares, por ejemplo, Hungerford; es una prueba por medio del Lema de Zorn (que en un sentido es una especie de "inducción transfinita", por lo que tal vez no les gusta). Es el Lema de Zorn, que se encarga de asegurarse de que usted puede "recoger" compatible isomorfismo en el único polinomios y, a continuación, "la cola", para obtener un único isomorfismo para la división de campo de todo el conjunto.
(Esta es una forma estándar para utilizar el Lema de Zorn: usted sabe que usted puede hacer cosas que no canónicamente "paso a paso", por lo que considerar el conjunto de todos "(posiblemente sólo parcialmente completado las cosas" y el fin de "compatibilidad". A continuación, aplicar el Lema de Zorn para obtener un elemento maximal, y ya que usted sabe que usted puede ir "un paso más" si es necesario, que significa que el elemento maximal debe ser su destino ya).
Supongamos $K$ $L$ son extensiones de campo de $F$, e $S$ es un conjunto de no constante poynomials en $F[x]$ tal que $K$ $L$ son tanto la división de los campos de $S$ $F$ (es decir, cada polinomio en $S$ se divide en cada una de las $K$$L$, y cada una de las $K$ $L$ se genera sobre $F$ por las raíces de los polinomios en la $S$). Queremos mostrar que hay un isomorfismo entre el$K$$L$.
Deje $\mathscr{S}$ ser el conjunto de todos los triples $(E,N,\sigma)$, con $F\subseteq E\subseteq K$, $F\subseteq N\subseteq L$, y $\sigma\colon E\to N$ un campo de isomorfismo que restringe a la identidad en $F$.
Lugar de un orden parcial en $\mathscr{S}$ diciendo que $(E,N,\tau)\preceq (E',N',\sigma)$ si y sólo si $E\subseteq E'$, $N\subseteq N'$, y $\sigma\bigm|_{E}=\tau$.
Nos muestran que $\mathscr{S}$ satisface las hipótesis del Lema de Zorn: es decir, es un conjunto parcialmente ordenado (trivial) de tal manera que cada cadena tiene una cota superior. Desde $(F,F,\mathrm{id}_F)\in\mathscr{S}$, el vacío de la cadena tiene una cota superior. Supongamos ahora que $\mathscr{C}=\{(E_i,N_i,\sigma_i)\}_{i\in I}$ es una cadena en la $\mathscr{S}$. Vamos $E=\cup E_i$, $N=\cup N_i$, y definir $\sigma\colon E\to N$ como sigue: si $a\in E$, entonces no existe $i\in I$ tal que $a\in E_i$; a continuación, defina $\sigma(a) = \sigma_i(a)$.
Esto es bien definido: si $a\in E_i$ y $a\in E_j$, $i\neq j$, a continuación, cualquiera de $E_i\subseteq E_j$ o $E_j\subseteq E_i$, ya que el $\mathscr{C}$ es una cadena; en el primer caso, $\sigma_j|_{E_i} = \sigma_i$, lo $\sigma_j(a)=\sigma_i(a)$; del mismo modo, en el último caso.
También, $\sigma$ es un campo homomorphism: dado $a,b\in E$, sabemos que $a\in E_i$ $b\in E_j$ algunos $i$ y algunos $j$; desde $\mathscr{C}$ es una cadena, $E_i\subseteq E_j$ o $E_j\subseteq E_i$. De cualquier manera, podemos encontrar una sola $k\in I$ tal que $a$ $b$ tanto en $E_k$, y luego de $$\begin{align*} \sigma(a+b) &= \sigma_k(a+b) = \sigma_k(a)+\sigma_k(b) = \sigma(a)+\sigma(b)\\ \sigma(ab) &=\sigma_k(ab) = \sigma_k(a)\sigma_k(b) = \sigma(a)\sigma(b), \end{align*}$$ desde $\sigma_k$ es un campo homomorphism. El mapa es sobre, por cualquier $b\in N$ existe $i\in I$$b\in N_i$, y, a continuación,$b\in \sigma_i(E_i)\subseteq \sigma(E)$. Por lo tanto, $\sigma$ es un campo de isomorfismo. La definición también se asegura de que $\sigma$ restringe a la identidad en $F$.
Por lo tanto, $(E,N,\sigma)\in\mathscr{S}$, y por la construcción de $(E_i,N_i,\sigma_i)\preceq (E,N,\sigma)$ todos los $i\in I$. Por lo tanto, $(E,N,\sigma)$ es un límite superior para $\mathscr{C}$.
Por lo tanto, $\mathscr{S}$ es un conjunto parcialmente ordenado en el que cada cadena tiene un elemento maximal. Por el Lema de Zorn, tiene la máxima elementos. Deje $(\mathcal{K},\mathcal{L},\sigma)$ ser un elemento maximal. Nos muestran que $\mathcal{K}=K$$\mathcal{L}=L$.
Deje $f(x)\in S$ ser cualquier polinomio en $S$. Deje $M$ ser la división de campo de la $f(x)$$\mathcal{K}$$K$, y deje $N$ ser la división de campo de la $f(x)$$\mathcal{L}$$L$.
Desde el resultado de un único polinomio, sabemos que el isomorfismo $\sigma\colon\mathcal{K}\to\mathcal{L}$ puede ser extendido a un isomorfismo $\tau\colon M\to N$. En particular, $(M,N,\tau)\in\mathscr{S}$, e $(\mathcal{K},\mathcal{L},\sigma)\preceq(M,N,\tau)$. Por maximality de $(\mathcal{K},\mathcal{L},\sigma)$, se deduce que el $(\mathcal{K},\mathcal{L},\sigma)=(M,N,\tau)$, por lo que, en particular, $f(x)$ se divide en $\mathcal{K}$ y en $\mathcal{L}$. Por lo tanto, cada polinomio en $S$ se divide en $\mathcal{K}$, y, por tanto,$K=\mathcal{K}$; y cada polinomio en $S$ se divide en $\mathcal{L}$, por lo tanto $L=\mathcal{L}$.
Por lo tanto, $\sigma\colon K=\mathcal{K}\stackrel{\cong}{\to}\mathcal{L}=L$ es un isomorfismo entre el$K$$L$.
