Vamos $$x'=1+y-x^2-y^2+af_1(x,y)$$ $$y'=1-x-x^2-y^2+af_2(x,y)$$ donde $a>0$ es muy pequeña.
¿Qué es una perturbación $af(x,y)$ que conserva periódico de las órbitas, pero hace que sea asintóticamente estable?
Lo que he hecho:
Así que perturban el sistema
$$x'=1+y-x^2-y^2$$
$$y'=1-x-x^2-y^2$$
Una órbita periódica de esto está dado por $(x,y)=(\cos t,-\sin t)$ (encontrado esto antes), así que debemos tener
$$-\sin t=-\sin t+af_1(\cos t,-\sin t)$$
$$-\cos t=-\cos t+af_2(\cos t,-\sin t)$$
Así que queremos
$$f_1(\cos t,-\sin t)=f_2(\cos t,-\sin t)=0$$
Sin embargo, ¿cómo puedo encontrar a $f_1,f_2$ s.t. obtenemos la estabilidad asintótica? Se supone que debo determinar la estabilidad asintótica por la búsqueda de la Floquet de los exponentes.
Editar:
Siguiente LutzL la respuesta a continuación quiero para calcular los multiplicadores de Floquet. Para los que tenemos que calcular el Jacobiano de $F_1+\lambda(F_2-F_1)$, luego de conectar nuestra solución periódica $(\cos t,-\sin t)$ en el Jacobiano $J$, nos encontramos con el multiplicador a ser
$$m=\exp\left(\int_0^{2\pi}\text{tr }J dt\right)$$
He encontrado
$$J_{11}=\frac{\partial x'}{\partial x}=-2x+\lambda(1-x^2-y^2)-2\lambda x(x-1)$$
$$J_{22}=\frac{\partial y'}{\partial y}=-2y+\lambda(1-x^2-y^2)-2\lambda y(y-1)$$
Pero enchufar nuestro periódico solución de $(\cos t,-\sin t)$ y la integración de $0$ $2\pi$da multiplicador de 1 de las que: necesito $<1$ para la estabilidad asintótica.
