Tengo que probar este resultado para algo que estoy trabajando:
Para cualquier entero positivo $n$, es posible encontrar un número entero distinto de cero $p$, de modo que $p^2$ es la suma de $i$ cero plazas para todos los $1 \leq i \leq n$?
Lo que me gustaría hacer es la siguiente. En primer lugar, encontrar $a,b,c$ cero enteros, de modo que $a^2 + b^2 = c^2$. Luego de encontrar un valor distinto de cero enteros $d$$e$, de modo que $c^2 + d^2 = e^2$. Luego de encontrar un valor distinto de cero enteros $f$$g$, de modo que $e^2 + f^2 = g^2$. Tenga en cuenta que, a continuación, $$ g^2 = e^2 + b^2 = c^2 + d^2 + b^2 = a^2 + b^2 + d^2 + b^2 $$ y me gustaría seguir en este camino. Sin embargo, me pregunto si esta construcción es aún posible? Soy yo siempre la garantía de que dicha cadena de números enteros existen? Si es así, ¿cómo puedo probar este rigurosamente? Otro pensamiento mío es el uso de Euclides de la Fórmula. Por ejemplo, supongamos $m = 3$$n = 1$. Entonces $$ \begin{align*} a &= 3^2 - 1^2 = 8\\ b &= 2\cdot 3 \cdot 1 = 6\\ c &= 3^2 + 1^2 = 10. \end{align*} $$ Además, $c = 2\cdot 5 \cdot 1$, por lo tanto, dejar $m = 5$ $n = 1$ da $$ \begin{align*} d &= 5^2 - 1^2 = 24\\ e &= 5^2 + 1^2 = 26. \end{align*} $$ Y de nuevo, $e = 2\cdot 13 \cdot 1$, por lo tanto, dejar $m = 13$ $n = 1$ da $$\begin{align*} f &= 13^2 - 1^2 = 168\\ g &= 13^2 + 1^2 = 170. \end{align*}$$ Entonces $$\begin{align*} g^2 = 170^2 = 26^2 + 168^2 = 10^2 + 24^2 + 168^2 = 6^2 + 8^2 + 24^2 + 168^2 \end{align*} $$ Yendo un paso más, podemos escribir la $170 = 2\cdot 17 \cdot 5$ $m = 17$ $n = 5$ da $$\begin{align*} h &= 17^2 - 5^2 = 264\\ i &= 17^2 + 5^2 = 314, \end{align*}$$ en que $314 = 2\cdot 157 \cdot 1$. Parece que puede estar en el camino correcto, pero no estoy seguro de si esto es cierto en general. Tal vez se pueda demostrar que este proceso puede ser seguido de forma arbitraria, dado que empezar con dos primos $m$ $n$ en el primer paso? Cualquier pensamiento o referencias o nada, sería maravilloso. Gracias de antemano!
