desigualdades de varianza

Question

Demuestre que, para cualquier variable aleatoria discreta X que toma valores en el rango [0,1]. Var [X] $\le$ 1/4.

Lo traduzco en una desigualdad como ésta: $x_1, x_2, x_3 \cdots ,x_n$ donde $0 \le x_i \le 1$ y $p_1, p_2, p_3 \cdots ,p_n$ donde $p_1+ p_2+ p_3 \cdots +p_n = 1$ , demuestre que $\sum _1^nx_i^2p_i - (\sum _1^n x_ip_i)^2 \le {1\over 4}$ ¿Cómo probarlo?

Al principio probé con la desigualdad de Cauchy, pero fallé :(

Answer 1

Aquí hay una manera: Tenga en cuenta que $$0 \leq X \leq 1$$ $$\Rightarrow 0\leq X^2 \leq X \leq 1$$ Así, $E[X^2] \leq E[X]$

Ahora bien, así $$Var[X] \leq E[X](1-E[X]) $$

Pero $0 \leq E[X] \leq 1$ los máximos de $f(x)=x(1-x) \quad x\in [0,1]$ es $1/4$ en $x=.5$ (Pista: AMGM).

QED

Answer 2

En primer lugar, para cada variable aleatoria de valor real $X$ y todo número real $x$ , $\mathrm{var}(X)\leqslant E[(X-x)^2]$ (y de hecho la varianza es el mínimo sobre $x$ de estos límites superiores). En segundo lugar, si $X\in[0,1]$ casi seguramente, entonces $(X-\frac12)^2\leqslant\frac14$ casi seguro.

Para $x=\frac12$ Estos dos hechos juntos dan como resultado $\mathrm{var}(X)\leqslant E[(X-\frac12)^2]\leqslant\frac14$ .