Exponencial de los grupos de Lie.

Question

¿Cuando el mapa exponencial define una biyección entre el grupo G y su Álgebra de mentira? El único ejemplo que conozco es el grupo de Heisenberg.

Answer 1

El mapa exponencial es un bijection implica que $G$ es contráctiles desde la Mentira de álgebra es un espacio vectorial, Vamos a ${\cal G}$ ser la Mentira de álgebra de $G$, escribir ${\cal G}=V\oplus R$ donde $R$ es el radical y $V$ es semi-simple, considerar el subgrupo $V_G$ $G$ asociado a $V$, la restricción de $exp$ a la Mentira de álgebra de $V_G$ es inyectiva si y sólo si $V_G$ es trivial, por lo $V$ es trivial y $G$es solucionable, y simplemente conectado. Lo contrario también es cierto.

Para mostrar que $V$ es trivial, considerar la restricción de $exp$ a la Mentira de álgebra $D$ de la componente compacto $C$ $V_G$ en su Iwasawa descomposición, esta restricción es inyectiva implica que $D$ es cero, ya que para un compacto de Lie del grupo, la exponencial es surjective y si es inyectiva es un homeomorphism y de un espacio vectorial es compacto si su dimensión es cero. Esto demuestra que $C$ es trivial, y en lo sucesivo $V$ es trivial, ya que no es solucionable.

Answer 2

No es un genial ejemplo que me encanta, dado en un papel por Arsigny, et al. lo que demuestra que la simétrica positiva definida matrices puede ser dado una Mentira estructura de grupo, y este es un ejemplo donde la exponencial mapa es un bijection de la Mentira de grupo para su Mentira álgebra. Deje $SPD(n)$ ser el colector de simétrica positiva definida matrices. Esto puede ser realizado como un colector tanto como abrir un subconjunto de las matrices simétricas $Symm(n)$, y también como un espacio homogéneo $SPD(n) \approx GL_n(\mathbb{R})/O(n)$ bajo la acción $GL_n(\mathbb{R}) \times SPD(n) \to SPD(n)$$(A, P) \to APA^T$. Utilizando el teorema espectral podemos diagonalize cualquier $P \in SPD(n)$ $P = QDQ^T$ $D$ diagonal con elementos positivos y $Q \in O(n)$. Además, el espacio de la tangente $T_PSPD(n) \cong Symm(n)$ en cada punto, por lo tanto la tangente vectores matrices son simétricas. La matriz exponencial mapa de $\exp:Symm(n) \to SPD(n)$ dada por la serie de Taylor tiene el práctico de cálculo de propiedad que

$$ \exp(P) \;\; =\;\; Q\exp(D) P^T $$

y del mismo modo el logaritmo mapa de $\log:SPD(n) \to Symm(n)$ definido por la expansión de Taylor se define para todas las matrices en $SPD(n)$ y sirve como una inversa de a $\exp$.

Ahora, la parte que Arsigny y sus colaboradores introdujeron en su papel es cómo activar $SPD(n)$ en una Mentira grupo. Esto se puede hacer mediante la introducción de la operación binaria $\odot: SPD(n) \times SPD(n) \to SPD(n)$ dada por

$$ Un\odot B \;\; =\;\; \exp(\log(a) + \log(B)). $$

Uno puede fácilmente demostrar que esta operación es suave y satisface todas las condiciones para activar $(SPD(n), \odot)$ en una Mentira grupo. Lo que también es emocionante también lo es que en el papel, los autores presentan una multiplicación escalar que convierte a $SPD(n)$ en un espacio vectorial.