Resolver un sistema de ecuaciones diferenciales

Question

Quiero saber como solucionar el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales.

$$\frac {dy}{dx} = z-x$$
$$\frac{dz}{dx}=y+x$$

Donde $y(0)=1, z(0)=1$

Como puedo entender que no puedo representar a este sistema como $x'=Ax$. Qué es el método correcto para resolver este sistema.

Answer 1

Por ejemplo, tomar la segunda ecuación y distinguir; así que $$\frac{d^2 z}{dx^2}=\frac{dy}{dx}+1$$ Now replace $\frac{dy}{dx}$ as given by the first equation and so $$\frac{d^2 z}{dx^2}=z-x+1$$ which is of second order. Solve it for $z$ using the conditions and go back to $y$ más adelante.

Answer 2

Cinco respuestas y nadie está señalando el razonamiento de la mayoría de los método intuitivo. Voy a añadir.

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Aquí está la manera clásica, con ninguna de las matrices involucradas. Hemos tenido:

$$\frac {dy}{dx} = z-x$$

Lo $y$? $$y = \frac{dz}{dx} - x$$

Sustituir de nuevo en la primera ecuación:

$$\frac {d}{dx} \left( \frac{dz}{dx} - x \right) = z-x$$

$$\frac{d^2z}{dx^2} - z = 1-x$$

Tenga en cuenta que yo no espontáneamente decir "diferenciar la segunda ecuación" como en la primera respuesta, acabo de sustituir el valor de $y$ en la primera ecuación.

Ahora usted tiene que hacer es resolver este segundo orden de la educación a distancia. Pero usted puede globo ocular es la solución!
Si el lado derecho fue de cero, entonces $$z(x) = c_1 e^x + c_2 e^{-x}$$ could be a solution, because the equation is saying that the second derivative must be equal to the original function. But since there's a non-homogeneity on the right, and since polynomials vanish with differentiation, you can set $$z(x) = c_1 e^x + c_2 e^{-x} + x - 1$$ which stays in the $z$ term but vanishes (i.e. becomes zero) in the $\frac{d^2z}{dx^2}$ plazo.

Ahora uso las condiciones iniciales:

1. Si $z(0) = 1$$c_1 + c_2 = 2$.
2. Si $y(0) = 1$$\frac{dz}{dx}(0) = 1 \implies c_1 - c_2 = 0$.

Esto implica $c_1 = 1$$c_2 = 1$.

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Tenga en cuenta que usted puede representar este sistema de con $d\vec{x}/dx = A\vec{x}$; el truco es dejar que $\vec{x} = \begin{bmatrix} 1 & x & y & z \end{bmatrix}^\intercal$:

$$A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$

Pero usted no tiene que. Usted lo puede representar como $d\vec{x}/dx = A\vec{x} + \vec{b}$ donde $\vec{x} = \begin{bmatrix} x & y & z \end{bmatrix}^\intercal$ y

$$A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$ $$\vec{b} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}^\intercal$$

Usted puede resolver este sistema por la solución de la homogénea $\vec{x}' = A\vec{x}$ (uso de la matriz de exponenciales) y, a continuación, añadir la no-homogeneidad $\vec{b}$, de manera similar a cómo se resuelve el escalar versión.

Answer 3

método sugerido: si agrega las ecuaciones se encuentra que $y+z$ es un aumento exponencial en $x$. es decir, $$ \frac{d(y+z)}{dx}=y+z $$

si se multiplican las ecuaciones por $y$ $z$ respectivamente y restar, entonces, con un poco de manipulación puede obtener $y^2-z^2$ como un exponencial. $$ \frac{d(z^2-y^2)}{dx} = x(z-y)=(z^2-y^2)\frac{x}{z+y} $$

dividiendo $z^2-y^2$ $z+y$ ahora obtener $z-y$ ( $z+y$ ) se puede resolver para $y$ $z$ y la evaluación de los parámetros (constantes de integración) de las condiciones iniciales. $$ z^2-y^2= Be^{\int xe^{-x}} $$

Answer 4

Hay un error con la técnica de Laplace transforma. Aquí le damos la solución adecuada. Usando las condiciones iniciales y tomar el Laplace transforma da: $$sY(s)-1=Z(s)-\frac{1}{s^2}$ $ y $$sZ(s)-1=Y(s)+\frac{1}{s^2}$de % $ % de problemas $Y(s)$y $Z(s)$, por obtener: $$Y(s)=\frac{1}{(s-1)}-\frac{1}{(s+1)}-\frac{1}{s^2}+\frac{1}{s}$ $ y $$Z(s)=\frac{1}{(s-1)}+\frac{1}{(s+1)}+\frac{1}{s^2}-\frac{1}{s}$ $ las soluciones finales son: $$y(x) = 2\sinh(x)-x+1$ $ y $$z(x) = 2\cosh(x)+x-1$ $ gráficamente obtenemos:

Disfrutar.

Answer 5

Tomar el derivado de la primera ecuación. Esto produce $y''(x)=z'(x)-1$. Conecte la segunda ecuación. Esto da $y''(x)+1=y(x)+x$. Esto es una ecuación diferencial con coeficientes lineales. ¿Tal vez puede utilizar el método de coeficientes indeterminados para solucionarlo?