Maximizar el producto de números de cinco dígitos

Question

A partir de un francés 2016 rompecabezas y concurso de matemáticas, donde no se permite calculadora

El uso de cada uno de los dígitos $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ exactamente una vez, encontrar a dos de cinco dígitos enteros tales que su producto es máxima

El concurso dura $3$ horas y este es el problema $12$$18$.

Yo no puedo un eficiente método para solucionar esto.

Un requisito obvio, es que en cada número, los dígitos que vienen en orden decreciente (de izquierda a derecha). En consecuencia, el mayor número se inicia con $9$, y el menor termina con $0$.

Answer 1

Deje $N_1 = 10^4 x_1 + 10^3 x_2 + \cdots x_5$$N_2 = 10^4y_1 + \cdots +y_5$. Desde $N_1\times N_2 = 10^8 x_1y_1+\cdots$, está claro que $x_1 = 9, y_1 = 8$. Ahora, tenemos \begin{align*} N_1 &= 90000 + 10^3x_2 + \cdots \\ N_2 &= 80000 + 10^3y_2 + \cdots \\ N_1\times N2 &= 72\cdot 10^8 + 10^7(9y_2+8x_2) + 10^6x_2y_2 \cdots \end{align*} Para maximizar el producto, tenemos que maximizar $9y_2+8x_2$. Los candidatos obvios son $x_2 = 7, y_2 = 6$$x_2 = 6, y_2 = 7$. Desde $9 \cdot 6 + 8 \cdot 7 = 110$$9 \cdot 7 + 8 \cdot 6 = 111$, elegimos $x_2 = 6, y_2 = 7$. Los números hasta el momento se $96000 + 10^2x_3+\cdots$$87000+10^2y_3+\cdots$. Ahora tenemos que maximizar $96y_3+87x_3$. Las posibilidades son $x_3 = 5, y_3 = 4$ o $x_3 = 4, y_3 = 5$. En estos casos, $96y_3+87x_3$ tiene valores 819 y 828, respectivamente. Por lo tanto elegimos $y_3 = 5, x_3 = 4$. Ahora tenemos \begin{align*} N_1 &= 96400 + 10^2x_4 + \cdots \\ N_2 &= 87500 + 10^2y_4 + \cdots \end{align*} Ahora tenemos que maximizar $964 y_1 + 875 x_4$. Aquí podemos ver que $x_4 = 2$$y_4 = 3$. Por último, tenemos \begin{align*} N_1 &= 96420 + x_5 \\ N_2 &= 87530 + y_5 \end{align*} Ahora para maximizar $9642 y_5 + 8753 x_5$, claramente $y_5 = 1$$x_5 = 0$. Por lo tanto la necesaria números se $96420$ $87531$ y la máxima del producto es $8439739020$.

Answer 2

Deje $A = abcde_{10}$ $B = fghij_{10}$ los números señalados en decimal de la base de que el producto $p = A \times B$ es máxima. Uno tiene : $$ A = 10^4a + 10^3b + 10^2c + 10d + e \\ B = 10^4f + 10^3g + 10^2h + 10i + j$$ Por la expansión del producto $AB$ y factorización por potencias de diez, obtenemos $$ p = (10^8f + 10^7g + 10^6h + 10^5i + 10^4j) \\ + b(10^7f + 10^6g + 10^5h + 10^4i + 10^3j) \\ + c(10^6f + 10^5 g + 10^4h + 10^3i + 10^2j) \\ + d(10^5f + 10^4g + 10^3h + 10^2i + 10j) \\ + e(10^4f + 10^3g + 10^2h + 10i + j)$$

Como usted dijo,

Un requisito obvio, es que en cada número, los dígitos que vienen en orden decreciente (de izquierda a derecha)

A partir de esta observación y debido a que el plazo para maximizar a cualquier precio parece ser $a(10^8f + 10^7g + 10^6g + 10^5i + 10^4j)$, podemos elegir en consecuencia $$ a = 9 \\ f = 8 $$

Sin embargo, no parece ser una especie de "diagonal elección" para hacer. Como cuestión de hecho, si fijamos $g = 7$, no podemos establecer $b = 7$ más. Tan húmedo llega a elegir entre si $9 \times 7.10^7 + b \times 7.10^6 + c\times 7.10^5 + d\times 7.10^4 + e\times 7.10^3$ $b, c, d, e$ menor de 7 o $7(8.10^7 + 10^6g + 10^5h + 10^4i + 10^3j)$ $g, h, i, j$ menor que 7.

En el mejor de los casos, es decir si $b = 6, c= 5, d=4, e=3$, en el primer caso es igual a $675,801,000$, mientras que el segundo es igual a $605,801,000$. Ya que queremos que la suma final a ser máxima, la mejor opción es $$g = 7 \\ b = 6$$ Repitiendo el proceso de forma sucesiva, uno eventualmente puede determinar que $$ h = 5 \\ c = 4 \\ i = 3 \\ d = 2 \\ j = 1 \\ e = 0 $$

Por lo tanto $A = 96,420$$B = 87,531$. Su producto es igual a $8,439,739,020$. Los cálculos resultan ser bastante fácil, ya que principalmente involucran potencias de diez.