Supongamos que te piden que elijas cualquier número real al azar. Entonces puede elegir cualquier número entre - y +, es decir, infinitos números. La probabilidad de que elijas un número concreto n = 1/ = 0. Lo que significa que no seleccione cualquier número. ¿Cómo es posible?
Puede haber dos conceptos erróneos: que elegir algo al azar siempre significa elegir algo uniformemente al azar; y que elegir un objeto al azar significa que uno elige cualquier objeto específico con probabilidad positiva.
En cuanto al primer punto, considere que no se puede elegir uniformemente al azar, digamos, un número entero positivo, ya que la probabilidad $p_k$ elegir $k$ no dependería de $k$ en $\mathbb N$ y el valor común $p$ de estas probabilidades $p_k$ debe resolver la ecuación $\sum\limits_{k\in\mathbb N}p=1$ que no tiene solución.
Una forma de salir de este enigma es utilizar distribuciones no uniformes, como una distribución geométrica o una distribución de Poisson o cualquier otra de entre una plétora. A continuación, $p_k$ depende de $k$ y se puede alcanzar la condición $\sum\limits_{k\in\mathbb N}p_k=1$ .
En cuanto al segundo punto, consideremos la distribución uniforme en el intervalo $[0,1]$ . Un número aleatorio $U$ elegido según esta definición es tal que $x\leqslant U\leqslant y$ con probabilidad $y-x$ para cada $0\leqslant x\lt y\leqslant1$ . En particular, $U\leqslant\frac12$ ocurre con probabilidad $\frac12$ , $\frac13\leqslant U\leqslant\frac12$ ocurre con probabilidad $\frac12-\frac13=\frac16$ etc., pero $U=x$ ocurre con probabilidad cero, para cada $x$ .
Este tipo de observaciones, y otras, condujeron a la idea de que la aditividad era una característica deseable de una probabilidad, pero sólo cuando se restringía a contable colecciones.
La lógica que has descrito sólo funciona (todavía, informalmente) con conjuntos contables. Por eso se necesitaba un enfoque teórico de la medida para formalizar la probabilidad sobre conjuntos generales. En concreto, se define la clase de "sucesos observables" (formalmente, un $\sigma$ -álgebra de subconjuntos del conjunto original) y definir la probabilidad sólo para estos sucesos.
Esta probabilidad es un medir y formaliza la noción de ser aleatorio. Es decir, si me pides que elija un número aleatorio, puedo elegir $0$ o $\sqrt{2}$ con probabilidades $0.5$ para cada uno de ellos, ya que ser "aleatorio" no es una noción formal. La noción formal es una distribución de probabilidad.
Incluso para conjuntos contables, ¿cómo definiría la aleatoriedad? Es decir, está claro que si consideramos un conjunto finito con $n$ elementos entonces la interpretación "natural" de ser "aleatorio", supongo, significa que cualquier elemento puede ser recogido con probabilidad $\frac1n$ . Pero, ¿y si hay infinitos elementos? Podemos olvidarnos de la teoría de medidas y definir sólo la probabilidad de coger cada uno de estos elementos. Pero, ¿cómo definir la probabilidad de recoger $1$ o $2$ o $n$ de $\mathbb N$ de forma "aleatoria"?
La probabilidad de selección de cualquier número real aleatorio es uno...
intuitivamente, si tienes que elegir cualquier número real entre 1 y 5, prácticamente no tienes opción de no elegir ese número. lo que significa que elegirás un número entre el rango finito definido. como no hay ninguna otra condición sobre las propiedades del número que se elige, la probabilidad de elegir cualquier número real entre 1 y 5 es 1.
la misma solución puede extenderse al caso infinito...
un caso más germano es poner alguna propiedad en la selección, ejemplo- elegir un múltiplo de 5 en el número real [1,5]. aquí, la probabilidad es indefinida ya que hay infinitos números reales entre 1 y 5. como arriba, esto puede extenderse al cae infinito con los mismos resultados.
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