Si existe $n>1$ tal que $x^n=x$ % todo $x$en un anillo, hay ningunos elementos nilpotentes distinto de cero.

Question

Supongamos que hay un entero $n> 1$ tal que $x^n=x$ todos elementos $x$ de algún anillo. Si $m$ es un entero positivo y $a^m= 0$ para algunos, muestran que el $a = 0$.

Tengo una respuesta pero no sé si es correcto. Hice uso del algoritmo de la división a la conclusión de que existe $q$ y $r$ tal que $a^n = a^{mq}a^{r}$ que se dan a continuación $a=(a^m)^q a^r$ $a=0a^r$ % finalmente, $a=0$

¿Es esto correcto?

Answer 1

La solución funciona cuando $n \geq m$ pero si $m > n$ entonces $q = 0$ y así obtener $a = a^r$.

Sin embargo desde $a^n = a$, sabemos que $a^{n^2} = (a^n)^n = a$ y similarmente $a^{n^s} = a$ % todos $s > 0$.

Así que escoja $s$ $n^s \geq m$, entonces podemos multiplicar $a^m = 0$ $a^{n^s-m}$ $a^{n^s} = 0 a^{n^s-m}$ y lo que $a = 0$. (O su solución, pero esto es más fácil).

p.s. supongo hay un error en la pregunta y debe ser $n > 1$.

Answer 2

Podemos hacer un poco más fácil con una simplificación.

Supongamos $a\neq 0$ y deje $m$ ser mínima con respecto a la satisfacción de las $a^m=0$. Esto implica que $m\geq 2$.

Si hay un valor distinto de cero nilpotent elemento, entonces hay un elemento distinto de cero cuyo cuadrado es igual a cero.

Si $a^2=0$, entonces no hay nada que hacer, y si $m>2$, siempre podemos elegir una potencia $a^i=b$ tal que $b^2=0$$b\neq 0$.

Si $b\neq0$$b^2=0$, tenemos una contradicción.

Por supuesto, $n\geq 2$ por hipótesis. También por hipótesis, $x=x^n=x^2x^{n-2}$ todos los $x$. Pero esto implica $b=b^n=0$, una contradicción con la afirmación de que $b\neq 0$.

Por lo tanto no puede existir una $b$ con plaza de cero, y además no puede existir un valor distinto de cero nilpotent elemento $a$.