Resolver

Question

Si $x, y, z$ son números enteros, resolver:

$$x^5 + y^5 + z^5 = 2015$$

Un amigo mío dice que no hay ninguna solución conocida y, al mismo tiempo, ninguna prueba que no hay solución, pero no lo creo. Sin embargo, no pude hacer mucho progreso refutar su afirmación. Tratado de aritmética modular, pero no pudo llegar a conclusión útil.

Answer 1

Estos problemas generalmente se realiza permitiendo que las variables que se han mezclado los signos, algunos positivos, negativos o cero.

creo que voy a hacer de este una respuesta. El problema similar por la suma de tres cubos ha sido trabajado por muchas personas; en el artículo vinculado, el número más pequeño para el que no hay congruencia obstrucciones, pero que no se conoce la expresión es $$ x^3 + y^3 + z^3 = 33. $$

Ver ESTO por el tamaño de los números involucrados. De hecho, en la séptima página, se dará una lista de los números hasta el 1000 todavía en duda, empieza 33, 42, 74, 156...

Yo no veo nada de malo lo que sugiere que el problema podría estar en el mismo estado sin resolver, además no creo que como muchas personas han trabajado en la suma de tres quinto poderes.

Answer 2

Ya que la pregunta no menciona los signos, entonces, equivalentemente,

$$x^n+y^n = z^n+\beta$$

Esto es lo que Noam Elkies llama a una de Fermat cerca señorita y él tiene una mesa de $n\leq20$. Es interesante preguntarse: Vamos a $xyz\neq0$. Para un determinado $n$, cuan pequeña $\beta$ llegar?

Para $n=3$:

Es bien sabido que el $\beta =1$. (Y que tiene un número infinito de entero de soluciones.)

Para $n=5$:

Parece ser que es $\beta = 12$,

$$13^5+16^5=17^5+12$$

D. Cigüeña búsqueda mostraron que no hay $\beta =2015$$|x|,|y|,|z|\leq200$. Podemos extender con Elkies' tablas (que ir tan alto como $8\; million$). Excluyendo $|x|,|y|,|z|<17$, el siguiente más pequeño $|\beta|$$\gcd(x,y,z)=1$,

$$\begin{aligned} &42^5 + 71^5 = 72^5 + 2951\\ &104^5 + 133^5 = 140^5-75083\\ &133^5 + 228^5 = 231^5-87890\\ &\quad\vdots\\ &707902^5 + 5645541^5 = 5645576^5+39515947850357 \end{aligned}$$

Por lo $\beta=2015$ ha perdido el tren, y las posibilidades que existen es muy remota.

Answer 3

Una búsqueda exhaustiva muy rápido (para $0 \le x, y, z \leq \lceil 2015^.2 \rceil = 5$) muestra allí no es una solución, como lo hace una búsqueda con $0 \le x \le 200$ y $-200 \le y, z, \le 200$.