Para que enteros $k$ es posible tener $b=ka$, donde $a$ es un entero positivo y $b$ se obtiene de $a$ moviendo el dígito inicial de $a$ hasta el final.
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lhf
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Escribir $a=10^n u + w$ donde $u$ es de un dígito y $0 \le w < 10^n$. A continuación,$b=10w+u$.
Ahora, $b=ka$ fib $k(10^n u + w) = 10 w +u $ fib $ (k10^n-1)u= (10-k)w$.
Desde $w < 10^n$,$(k10^n-1)u < (10-k)10^n$, por lo que $(ku+k-10)10^n < u < 10$. Esto sólo puede suceder si $ku+k-10 \le 0$. En particular, desde la $u\ge 1$, esto sólo puede ocurrir cuando la $k\le 5$.
$k=1$ implica $w=(11\cdots1)u$.
$k=2$ implica $(2\cdot 10^n-1)u=8w$. Desde $2\cdot 10^n-1$ es impar, $8$ debe dividir $u$$u=8$. Pero $ku+k \le 10$ implica $u \le 4$, así que no hay solución.
$k=3$ implica $(3\cdot 10^n-1)u=7w$ $7$ divide $3\cdot 10^n-1$. Esto implica $n \equiv 5 \bmod 6$. También, $ku+k \le 10$ implica $u \le 2$. Una solución de la muestra es $w=42857$, lo que da $a=142857$$u=1$$a=285714$$u=2$.
$k=4$ implica $(4\cdot 10^n-1)u=6w$. Desde $4\cdot 10^n-1$ es impar, $2$ debe dividir $u$. Pero $ku+k \le 10$ implica $u \le 1$, así que no hay solución.
$k=5$ implica $(5\cdot 10^n-1)u=5w$. Por lo $5$ debe dividir $u$. Pero $ku+k \le 10$ implica $u \le 1$, así que no hay solución.
Línea de base: Las únicas soluciones son $a=(11\cdots1)u$ $k=1$ $a$ formado por la repetición de $142857$ o $285714$$k=3$.
