¿Integral definida de$\int_{0}^{\pi}{\frac{dx}{1+\sin^2x}}$ con u-sustitución?

Question

Deje$u = \tan x$, obtenga$du=\frac{1}{\cos^2x}dx$. Entonces$$\int_{0}^{\pi}{\frac{dx}{1+\sin^2x}}=\int_{0}^{\pi}{\frac{\frac{1}{\cos^2x}dx}{\frac{1}{\cos^2x}+\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}}=\int_{0}^{\pi}\frac{d(\tan x)}{(\tan^2x+1)+\tan^2x}=\int_0^0\frac{du}{2u^2+1}=0.$ $

Sé que esto está mal, pero ¿por qué?

Answer 1

$u=\tan x$ no es continuo en$x \in [0,\pi]$, así que debes tener cuidado y dividir la integral en$x \in [0,\frac{\pi}{2})$ y la pieza sobrante antes de hacer todo. De esta forma, no divide por$\cos (\frac{\pi}{2})=0$.

Answer 2

Se están sustituyendo $u=\tan(x)$ en el intervalo de $x\in[0,\pi]$. Aviso de lo $\tan(x)$ ¿ en que intervalo. Tiene una discontinuidad en $\pi/2.$

Por lo tanto, parece prudente aviso de que el integrando es incluso acerca de $\pi/2$ y tome $$ \int_0^\pi\frac{dx}{\sin^2(x)+1} = 2\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{\sin^2(x)+1}$$

La antiderivada en la final si se alimenta a través de que la última integral es $$ \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan(\sqrt{2}\tan(x))+C$$ so you'd get $$ \frac{2}{\sqrt{2}}(\arctan(\infty)-\arctan(0)) = \frac{2}{\sqrt{2}}\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{\sqrt{2}}.$$

Nota también podríamos decir que algo era sospechoso por el hecho de que nuestro antiderivada al final no es continua en a $\pi/2.$ La antiderivada de una función integrable es siempre continua.

Así que... ¿qué es la antiderivada en $[0,\pi]$ (o en toda la recta real, para el caso)? (O, debería decir, la función que debemos restar $F(b)-F(a)$ para obtener la integral definida)

Se puede escribir (o una versión de ella, hasta una constante arbitraria) como $$ F(x) = \int_0^x \frac{dt}{\sin^2(t)+1}.$$ When the formal antiderivative jumps down by $\pi/\sqrt{2}$ at $x=\pi/2,$ we need to compensate by adding $\pi/\sqrt{2}$ to make the function continuous. This will happen again at $3\pi/2.$ So the antiderivative will be $$ \int_0^x \frac{dt}{\sin^2(t)+1} = \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan(\sqrt{2}\tan(x)) + C(x)$$

donde $C(x)$ es una escalera función que es localmente constante, y cero en el intervalo de $(-\pi/2,\pi/2)$ pero salta por $\pi/\sqrt{2}$ cada vez que llegamos a una extraña múltiples de $\pi/2.$

Lo que nos lleva de vuelta a su problema en el que los límites eran los mismos, por lo que parecía que se debe llegar a cero. Que fue de $\tan(\pi) = \tan(0)$ que corresponde a la formal antiderivada también ser la misma en los extremos. Pero ahora sabemos que tenemos que añadir un extra de $\pi/\sqrt{2}$ desde $C(\pi) - C(0) = \pi/\sqrt{2}.$

Answer 3

$$\int_{0}^{\pi}{\frac{dx}{1+\sin^2x}}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{dx}{1+\sin^2x}}+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}{\frac{dx}{1+\sin^2x}}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{dx}{1+\sin^2x}}+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{dt}{1+\cos^2t}}$ $ con$t=x-\dfrac{\pi}{2}$.

Answer 4

En el último paso puede hacer una última substitución con $u = \frac{v}{\sqrt{2}}$, por lo tanto, $ du = \frac{dv}{\sqrt{2}}$. Usted puede usar esto para obtener $ \frac{dv}{\sqrt{2}(v^2+1)}$ dentro de la integral y que suena para mí como la primitiva de una función trigonométrica inversa, pero creo que pueden terminarlo a partir de ahí.

Answer 5

Como Ahmed S. Attaalla ha señalado acertadamente que diverge $\tan x$ $\frac{\pi}{2}$, es una manera de lidiar con este problema

$$\int_{0}^{\pi}{\frac{dx}{1+\sin^2x}}$$

$$=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{dx}{1+\sin^2x}}$$

$$=2\int{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{dx}{1+\sin^2x}} + 2\int{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{dx}{1+\sin^2x}}$$

Ahora bien, dividir la integral primera $\cos^2 x $ y segundo por $\sin^2 x$ y sabes el resto.