Determinante de la secuencia larga exacta

Question

Que lo siguiente sea una secuencia de tiempo exacta de libre $A$-módulos de la fila finita:

$$0\to F_1\to F_2\to F_3\to...\to F_n\to0$$

Quiero mostrar que $\otimes_{i=1}^n (\det F_i)^{-1^{i}} \cong A$, donde la notación $^{-1}$ significa tomar el doble.

Mi intento era romper este en como de SES

$$0\to F_i\to Fi\oplus F{i+1}\to F_{i+1}\to 0$$

desde que sabemos que $$\frac {\det Fi\det F{i+1}}{\det (Fi\oplus F{i+1})}\cong A\tag{1}$ $

Me dejó usar la notación $$\begin{aligned}d_i &:= \det Fi\ d{i+(i+1)} &:= \det(Fi\oplus F{i+1})\end{aligned}$ $

De $(1)$, se obtiene fácilmente que $di d{i+1} \cdot d{i+1} d{i+2} = d{i+(i+1)}d{(i+1)+(1+2)}$ de la cual se sigue que

$$\frac {di d{i+2}}{d{i+1}}=\frac{d{i+(i+1)}d{(i+1)+(1+2)}}{d{i+1}^3}$$

Pero estoy atrapado en este paso.

Answer 1

El determinante puede ser determinada para cada finitely generado proyectiva módulo, debido a que estos son precisamente los localmente libre de los módulos de rango finito (que no tiene que ser constante, pero es localmente constante, y en cada una constante pieza que tomar la correspondiente potencia exterior). Es aditivo en corto exacta de secuencias (véase, por ejemplo, Daniel Murfet notas). Ahora me reclaman que la declaración contiene, en general, para localmente libre de los módulos de rango finito (en realidad también es localmente libre de gavillas de rango finito). Esta generalización es necesario para realizar el trabajo de la inducción:

Deje $K$ ser el núcleo de $F_{n-1} \to F_n$. Tenemos una secuencia exacta $0 \to K \to F_{n-1} \to F_n \to 0$, que se divide debido a $F_n$ es proyectiva. Desde $F_{n-1}$ es finitely generado proyectiva, se deduce que el $K$ es finitely generado proyectiva. Por lo tanto, $\det(K)^{-1} \otimes \det(F_{n-1}) \otimes \det(F_n)^{-1} \cong A$, es decir, $\det(K) \cong \det(F_{n-1}) \otimes \det(F_n)^{-1}$ Tenemos la larga secuencia exacta $$0 \to F_1 \to \dotsc \to F_{n-2} \to K \to 0.$$ Por hipótesis de inducción, tenemos $$\det(F_1)^{-1} \otimes \dotsc \otimes \det(K)^{\pm 1} \cong A.$$ Ahora sigue a $$\det(F_1)^{-1} \otimes \dotsc \otimes \det(F_{n-1})^{\pm 1} \otimes \det(F_n)^{\mp 1} \cong A.$$