grupo abeliano finito que satisface $x^2=e$

Question

He buscado pero no he visto que aparezca esta pregunta. No es una tarea, ya que me gradúo el jueves y tomé Abstract hace un año. Estoy tomando el Praxis II y perfeccionando mis habilidades. Tengo una buena intuición sobre este problema pero no sé si es una prueba suficientemente escrita. Esto es de Álgebra Abstracta de Herstein 3ª Edición

Si $G$ es un grupo abeliano finito con elementos $a_1, a_2,...,a_n$ son todos sus elementos, demuestre que $x=a_1a_2...a_n$ debe satisfacer $x^2=e.$

Así que desde $G$ es abeliana, $\forall{a_i},a_j\in{G}, a_ia_j=a_ja_i$ y como cada $a_k$ tiene un único inverso $a_k^{-1}$ eventualmente con suficientes operaciones, esta cosa se suicida. (Lo sé, no es genial, pero ¿cómo puedo terminar esto para que termine fuerte?). Y si $|G|$ es impar, eso implica al menos un $a_i$ es su propia inversa, ¿verdad?

Answer 1

Considere los elementos de $G$ que son diferentes de sus inversos. Como ya has observado en la pregunta, éstos se anulan entre sí al multiplicar todos los elementos juntos.

Eso nos deja el producto de elementos que son iguales a sus inversos, digamos $x = b_1 b_2 \ldots b_k$ . $G$ es, por supuesto, abeliana, por lo que $x^2 = e$ .

Answer 2

Básicamente, cada uno de los elementos $a_i$ en $G$ tiene un inverso $a_j$ con la posibilidad de $i=j$ pero no necesariamente. La abelianidad nos permite emparejarlos, y cancelarlos bien para obtener $e$ . No hay mucho más que eso. Puedes decir "...existe una bijección $f:[n]\to [n]$ tal que $a_ia_{f(i)}=e$ para cada $i=1,\dots,n$ ."

Answer 3

Tienes la idea correcta - la cuestión es que la conmutatividad te permite barajar la palabra $(a_1\dotsm a_n)^2$ hasta que cada elemento esté junto a su inverso, y entonces todo se colapsa en $e$ . Habrá otras formas de escribir esto, pero probablemente no sean tan claras.

Cada grupo tiene un elemento que es su propio inverso: la identidad. No veo nada en esta demostración que diga que debe haber otro si el orden del grupo es impar, y de hecho esto no es cierto - prueba el grupo cíclico de orden $3$ .