Un primo de la forma $38111111\ldots$

Question

Deje $z(n)$ denotar el número dado por $38$, seguido por $n 1$'s.

¿Cuál es el menor número $n$, de tal manera que $z(n)$ es primo ?

Con la fuerza bruta, he comprobado hasta el $7000$ dígitos y no encontrar un alojamiento.

Puede algo útil que decir acerca de los posibles factores primos que podría ayudar a acelerar la búsqueda ?

Para aquellos que prefieren las fórmulas

$$z(n)=\frac{343*10^n-1}{9}$$

Answer 1

Hay tres casos:

Si $n = 3 k + 1$, entonces el número es claramente divisible por 3.

Si $n = 3k +2$ a continuación, utilizando el hecho de que $37$ divide $111$, podemos ver que el 37 divide el número.

Si $n=3k$, se vuelve más complicado. Usted puede demostrar que el número es divisible por $\frac{7\, 10^k-1}{3}$, yo.los números e de la forma $23$, $233$, $2333$ y así sucesivamente.

Answer 2

Es verdad más general, que los elementos de tales secuencias son todos los compuestos (excepto posible para los primeros valores), es decir, $\,f_n$ está compuesto por todos los $\,n>c,\,$ algunos $\,c\,$ no dependiendo de la $\,n.$

Teorema $\ \ \ f_n = a^3 b^n-1\,$ está compuesto por todos los $\,n> c\ \ $ si $\ \ a\ge3,\ b\ge2,\ \ $ y

ambos gcds $\ \color{#0a0}{d_1} = (\color{#0a0}{a^3\!-b^2},b^3\!-1),\ $ $\,\color{#c00}{d_2}=(\color{#c00}{a^3\!-b},b^3\!-1)\,$ son no triviales, es decir, $\,d_i> 1.$

Prueba de $\ \, $ Por casos $\,n\ {\rm mod}\ 3.\,$ El primero de los dos casos muestran que $\,f_n\,$ tiene un factor de $\,d_i.$

$\ \ n=3k\!-\!2\!:\ {\rm mod}\,\ \color{#0a0}{d_1:\ a^3\equiv b^2},\, b^3\equiv 1\,\Rightarrow\, a^3b^n\! = \color{#0a0}{a^3} b^{3k-2} \equiv (b^3)^k \equiv 1\,\Rightarrow\, f_n \equiv 0$

$\ \ n=3k\!-\!1\!:\ {\rm mod}\,\ \color{#c00}{d_2\!:\ a^3\equiv b},\,\ \ b^3\equiv 1\,\Rightarrow\, a^3b^n\!= \color{#c00}{a^3} b^{3k-1} \equiv (b^3)^k \equiv 1\, \Rightarrow\, f_n \equiv 0$

$\ \ n=3k\!:\ a^3b^{3k}\!-1 = (ab^k)^3\!-1 = (e-1)(e^2\!+e+1),\ \, e = ab^k \ge a \ge 3\,\Rightarrow\,$ ambos factores $> 1$.

$\,d_i$ es independiente de $\,n\,$ $\,f_n$ es creciente, por lo $\,d_i$ es, finalmente, un adecuado factor de $\,f_n$ una vez $\,f_n \ge \max d_i$. En el caso restante se $(n = 3k)$ ver $\,e-1\,$ es un buen factor de $\,f_n.$ $\ \ \,$ QED

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El OP surge del caso especial $\,a,b = 7,10,\,$ $\, (a^3-b,b^3-1) = (333,999)=333=9\cdot 37,\,$
y $\,(a^3-b^2,b^3-1) = (243,999)=9\cdot 3.\,$ Porque $\,(d_1,d_2) = 9\,$ es un adecuado factor de $\,d_1,d_2,f_{3n},\,$ se sigue que $\,z_n = f_{n}/9\,$ también tiene todos los compuestos de valores, que es el OP.

Un teorema análogo vale para $\,f_n = a^k b^n\! - 1\,$ el uso de gcds $\ (a^k\!-b^i,b^k\!-1),\,\ i =1,\ldots,k-1.$

Answer 3

La expresión es congruente con el de 3.

$343 \equiv 1 \pmod 3$ y 3|$10^n - 1$.