¿Qué es? $\int_0^{\infty} (-1)^{\lfloor x^2 \rfloor} \, \operatorname{d}\!x \ ?$

Question

¿Qué es?

$$\int_0^{\infty} (-1)^{\lfloor x^2 \rfloor} \, \operatorname{d}\!x \ ?$$

Answer 1

La integral no es más que la suma del valor del integrando sobre un intervalo de un valor entero constante por la longitud de ese intervalo. Nótese que $\lfloor x^2\rfloor$ es igual al número entero $k$ cuando $x \in [\sqrt{k},\sqrt{k+1}]$ . Por lo tanto,

$$\int_0^{\infty} dx \: (-1)^{\lfloor x^2\rfloor} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k (\sqrt{k+1}-\sqrt{k}) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}$$

La suma converge por comparación con

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{\sqrt{k}}$$

Answer 2

Sugerencia: Haz un dibujo de la gráfica del integrando y sombrea las regiones relevantes.

Answer 3

Mi propia respuesta fue sustituir t=x^2 y obtener Int( (-1)^floor(x) * 1/2sqrt(x) ) luego tratar de usar el hecho Int( (-1)^floor(x) ) para x=0 a 2 es 0 y se repite, también 1/2sqrt(x) es monotónico a cero... ¿Es una forma correcta de resolver esta cuestión? ¿Cómo puedo completarla de manera formal?

Answer 4

Dejemos que $f(x) = (-1)^{\lfloor x^2 \rfloor}$ . Entonces puede demostrar que $$s_n=\int_0^{\sqrt{n}} f(t) \, dt = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} \, .$$ Tenga en cuenta que $s_n$ es una secuencia convergente.

Ahora, para cualquier $x>0$ podemos encontrar algunos $n$ con $\sqrt{n}<x<\sqrt{n+1}$ . Dado que el signo de $f$ es constante en $[\sqrt{n},\sqrt{n+1}]$ , $\int_0^x f(t) \, dt$ se encuentra entre $s_n$ y $s_{n+1}$ . Las secuencias $\{s_n\}$ y $\{s_{n+1}\}$ convergen al mismo valor, y $n$ aumenta sin límite a medida que $x$ lo hace; por lo tanto $\int_0^x f(t) \, dt$ converge por el teorema de la compresión.

¿Qué lección debe sacar de esto en general? Lo único que puede salir mal cuando intentas convertir una integral impropia en una suma es que puedes estar ocultando alguna cancelación. En este caso, estamos rompiendo la integral en todos los lugares en los que cambia el signo del integrando, así que no hay forma de que eso ocurra.

Sin embargo, tiene razón al estar algo preocupado. Tenga en cuenta que mientras $\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}$ converge, no converge absolutamente . Por lo tanto, hay ciertas cosas que no puedes hacer a esta integral que podrías querer (por ejemplo, cualquier sustitución que equivalga a un reordenamiento de la suma).

Answer 5

Convergente.

Y su valor puede expresarse como $$ \sum_{n\geqslant0}\left(2\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n}-\sqrt{2n+2}\right) $$ o como $$ \sum_{n\geqslant0}\frac2{(\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n})(\sqrt{2n+2}+\sqrt{2n+1})(\sqrt{2n+2}+\sqrt{2n})} $$