¿Qué es la propiedad matemática que justifica la comparación coeficientes resolver fracciones parciales?

Question

McGraw Hill PreCaculus Libro de texto da varios buenos ejemplos de resolución parcial de las fracciones, y justificar todo, pero es un paso establecido en las propiedades matemáticas.

En la 4ª etapa del Ejemplo 1, al pasar de:

$$1x + 13 = (A+B)x+(4A-5B)$$

dicen que para "igualar los coeficientes", escribir el sistema lineal

$$A+B = 1$$

$$4A-5B=13$$

Es un paso simple, código de color en el libro de texto de fácil comprensión, pero McGraw Hill no lo justifica con alguna propiedad matemática, postulado o teorema. Adición y/o propiedades de la multiplicación de la igualdad no parecen aplicarse directamente.

Alguien me puede ayudar a justificar este paso?!

Answer 1

Lema: Si $px+q=0$ para todos los valores de $x$,$p=q=0$.

Prueba: En particular, $p(0)+q=0$, lo que significa que $q=0$. Por lo $px=0$ todos los $x$, lo que significa que $p(1)=0$, y por lo $p=0$.

Teorema: Si $px+q$ $rx+s$ son iguales para todos los valores de $x$,$p=r$$q=s$.

Prueba: Si $px+q$ $rx+s$ son iguales para todos los valores de $x$, luego $$ px+q-(rx+s)=0 $$ para todos los valores de $x$. Pero esta expresión puede escribirse como $$ (p-r)x+(q-s) $$ y, entonces, por el lema, $p-r=0$$q-s=0$. Es decir,$p=r$$q=s$.

Answer 2

Presumiblemente, se afirma que esta ecuación debe mantener para todos los $x$. Esto significa que, en particular, se debe mantener para $x=0$. Si establecemos $x=0$ en su ecuación, encontramos la ecuación

$13=4A-5B$

que es la segunda ecuación se escribió. Veamos ahora, en $x=1$, por lo que nos encontramos

$1+13=(A+B)+(4A-5B)$

Ya sabemos que $4A-5B=13$ de nuestro paso anterior, que de esta manera podemos poner en la ecuación, que conduce a $1+13=(A+B)+13$. Restando $13$ desde cualquiera de los lados nos deja con

$1=A+B$

que es su segunda ecuación.

Tenga en cuenta que esto se puede hacer de manera más general, es decir, incluso si la ecuación sólo tiene que llevar a cabo para un par de $x$, no incluidas $0$ o $1$. Si quieres una prueba de que no hace uso de $x=0$ $x=1$ hágamelo saber.

Answer 3

El principio general es que dos polinomios son iguales en cada punto si y sólo si sus coeficientes son iguales. "Si sus coeficientes son iguales, entonces los polinomios son iguales" es clara.

Demostrar que la inversa no es tan fácil en general. Se desprende de un mayor resultado de álgebra lineal, que dice que la matriz de Vandermonde para $d+1$ distintos números reales es invertible, y por lo tanto existe un único polinomio de grado en la mayoría de las $d$ pasar por ninguna de las $d+1$ puntos, siempre que todos ellos tienen diferentes $x$ coordenadas. Esta es, probablemente, no accesibles a usted, a su nivel, pero es probablemente la mejor manera de ver esto en general.

Otra manera de verlo, aunque hacer este riguroso requiere de algunos cálculos, es tener en cuenta que si dos polinomios son iguales en cada punto, a continuación, sus términos constantes debe ser el mismo. Sustrae el término constante de cada uno y dividiendo por $x$, usted tiene dos polinomios que ahora de nuevo tiene que ser igual en cada punto. Así que se conecta en $x=0$, lo que da acuerdo de los lineales de coeficientes de la original de polinomios. Haciendo esto un total de $d+1$ veces da el resultado deseado.

Donde la falta de rigor viene es en decir que el $x/x=1$, incluso cuando se $x=0$, lo cual no es realmente cierto. Lo que realmente estamos haciendo aquí es darse cuenta de que si dos funciones diferenciables son iguales en todas partes, a continuación, sus derivados son iguales en todas partes, y que si $p(x)=\sum_{k=0}^n a_k x^k$ $a_k=\frac{p^{(k)}(0)}{k!}$ donde $p^{(k)}$ indica el $k$th derivado de la $p$.

Answer 4

La propiedad de uno de los usos es que dos polinomios

$$ p(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0, \\ q(x) = b_m x^m + \dots + b_1 x + b_0 $$

son iguales si y sólo si $a_n = b_n$ todos los $n \in \mathbb{N}_0$. En otras palabras, dos polinomios son iguales si y sólo si sus coeficientes son iguales (y, en particular, deben ser del mismo grado).

Cómo se justifica esta realidad, depende de lo que usted piensa de polinomios. A partir de una expresión algebraica punto de vista, un polinomio es una expresión formal de la forma $p(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0$ y dos polinomios son definidos son iguales si sus coeficientes son iguales.

Sin embargo, un enfoque alternativo sería definir un polinomio como una función de $p \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ para los que exista números reales $a_0,\dots,a_n$ tal que $p(x) = a_nx^n + \dots + a_1 x + a_0$ todos los $x \in \mathbb{R}$. Desde este punto de vista, no es claro que si usted tiene dos funciones polinómicas $p(x),q(x)$ tal que $p(x) = q(x)$ todos los $x \in \mathbb{R}$, a continuación, sus coeficientes deben ser iguales (y, de hecho, esto no es cierto si uno reemplaza $\mathbb{R}$ con un campo arbitrario o anillo).

Para probar esto, se puede dar un argumento algebraico usando el determinante de Vandermonde pero de verdad polinomios, es más fácil notar que el $k$-coeficiente de $p(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0$ está dado por $a_k = \frac{p^{(k)}(0)}{k!}$ donde $p^{(k)}(0)$ $k$- ésima derivada de $p$$x = 0$. Entonces, si dos polinomios son iguales funciones, es claro que todos sus derivados de todos los pedidos deben ser iguales y, entonces, los coeficientes deben ser iguales.