Demuestre que $S=\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_n}$ no es un número entero.

Question

Así que tengo un montón de números enteros $a_1,...,a_n$ y un número primo $p$ que divide sólo uno de los números de esta secuencia, digamos $a_k$

Quiero demostrar que $S=\dfrac{1}{a_1}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}$ no es un número entero.

Bien podemos expresar la suma de otra manera, poniéndolos bajo un denominador común, entonces la suma es

$$\sum_{i=1}^n\dfrac{\prod_{j=1,j \neq i}^n a_j}{\prod_{j=1}^n a_j}$$

Todos los miembros de esta suma son divisibles por $p$ espera que el $k$ 'th uno. Pero, ¿es esto útil de alguna manera?

Answer 1

$$ S = \frac{\sum_{l=1}^n \prod_{j\in\{1,..,n\}, j\neq l} a_j}{\prod_{j=1}^n a_j} = \frac{\sum_{l\in\{1,..,n\}, l\neq k} \prod_{j\in\{1,..,n\}, j\neq l} a_j + \prod_{j\in\{1,..,n\}, j\neq k} a_j}{\prod_{j=1}^n a_j} $$

Cada término de la suma de la izquierda es divisible por p exactamente una vez y el denominador es divisible por p. Por tanto, existen enteros $r$ y $s$ tal que

$$ S = \frac{r\cdot p + \prod_{j\in\{1,..,n\}, j\neq k} a_j}{s\cdot p}$$

El término de la derecha no es divisible por p, por lo que el numerador no es divisible por p. Por lo tanto, S no es un número entero.

Answer 2

Supongamos por contradicción que la suma es un número entero, digamos $m$ .

Entonces

$$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{k-1}}+\frac{1}{a_{k+1}}+...+\frac{1}{a_n} =m-\frac{1}{a_k} \,.$$

Ahora, cuando hagas la suma en el LHS, $p$ no divide el denominador, por lo que no lo dividirá incluso después de reducir la fracción. En el lado derecho, $\frac{ma_{k}-1}{a_k}$ ya se ha reducido y $p$ divide el denominador...

Así, se obtienen dos fracciones reducidas que son iguales pero tienen denominadores diferentes, que es la contradicción.

Answer 3

A la manera pedante: El $p$ -valor absoluto radical en $\mathbf Q$ satisface la desigualdad ultramétrica $|x+y|_p \leq \max\{|x|_p, |y|_p\}$ . Sea $S$ sea tu suma. Entonces $$|S-1/a_k| \leq \max_{i \neq k}\{|1/a_i|_p\} \leq 1$$ porque el $a_i$ son $p$ -unidades de $i \neq k$ . Por otra parte, $$p\leq |1/a_k|_p \leq \max\{|S-1/a_k|_p, |S|_p\}\leq \max\{1, |S|_p\}$$ implica $|S|_p\geq p$ Así que $S$ no es un número entero.