Ecuación diofántica

Question

$x^2+y^2+z^2=c$

Encontrar el entero más pequeño $c$ que da esta ecuación una solución en números naturales.

Encontrar el entero más pequeño $c$ que da esta ecuación en dos distintos soluciones en números naturales.

Encontrar el entero más pequeño $c$ que da esta ecuación tres distintos soluciones en números naturales.

Es evidente que la primera respuesta es c = 3. Yo sé cómo hacer lineal diophantine ecuaciones, pero estoy perplejo en cuanto a esto.

Por distintas soluciones, estoy buscando diferentes tripartito (desordenada triples)

Puede usted ayudar?

Answer 1

Puesto que la ecuación es simétrica: si $(x,y,z)$ es la solución que cada permutación de $(x,y,z)$ es la solución también. Por lo que es imposible para esta ecuación 2 soluciones (porque si fuera por ejemplo $x\neq y$ que tenemos al menos tres permutaciones distintas). El más pequeño $c$ para tres soluciones distintas es $6$: $(2,1,1), (1,2,1), (1,1,2)$.