¿Puedo asignar un campo de gravedad a una grilla infinita de masas de puntos?

Question

Así, en el clásico juego de arcade de Asteroides, que se mueven en un campo de juego donde los bordes superior e inferior son identificados y los bordes izquierdo y derecho del mismo modo, topológicamente un toro. Estoy interesado en cómo los juegos de mundo podría dar cabida a la gravedad.

Un modelo que podría utilizar es el de embaldosar el plano con las copias del campo de juego, y luego resolver las fuerzas en el plano (por ejemplo, como si se tratara de un trozo de espacio físico). Entonces la cuestión de la determinación de la gravedad entre dos objetos se reduce a la cuestión de la determinación de la fuerza que se siente en un objeto en el plano por una infinita red de otros objetos (es decir en el entero de las coordenadas; la fuerza que se siente en el objeto de todas las copias de sí mismo parece que debería ser cero, por simetría).

Sin embargo, hay un problema aquí: a una distancia de aproximadamente $r$, $O(r)$ objetos, cada uno aportando una fuerza que es $O(1/r^2)$, para un total de $O(1/r)$. Sumando los aportes a lo largo de todas las distancias es una serie armónica, que diverge.

Intuitivamente, sin embargo, parece que la situación no es tan mala como la de que, debido a que el total de la contribución de los puntos a una distancia de aproximadamente $r$ es mucho menor que la suma de las contribuciones individuales, debido al alto grado de cancelación. Podríamos esperar que un gran $r$, los puntos casi mentira en un círculo, por lo que se cancelan uno al otro casi a la perfección.

A continuación, de nuevo, sé que los valores absolutos divergentes significa que puedo coger un fin de sumar fuerzas para que el resultado sea lo que yo quiera, incluyendo infinito, y parece difícil argumentar que la computación de las fuerzas más cercano, el candidato punto es particularmente mejor que cualquier otro tipo de orden. Incluso si decido que lo correcto es tomar el límite de $r \to \infty$ de las fuerzas dentro de la distancia $r$, que es bastante aterrador suma que no veo una buena manera de conseguir una manija en.

Puede alguien me ofrecen:

• asintótica estima en la suma de las fuerzas a distancia, aproximadamente,$r$, después de la cancelación, que podría demostrar que al menos una forma de esta pregunta tiene una respuesta?
• cualquier técnicas que pueden hacer que la misma suma más manejable?
• alguna idea sobre lo que el inverso del cubo de caso, donde parece que la convergencia sería absoluta?
• cualquier otro pensamiento que nadie ha hecho en el tema de la gravedad o fuerzas similares en espacios cociente?

Answer 1

La física respuesta sería que verdaderamente infinita red de punto de masas es no físico de todos modos. Si la red no es infinito, sino simplemente muy grande, va a tener un centro en algún lugar, y el campo en cualquier punto en particular dependerá de su posición relativa al centro.

Y si usted insiste en hacer lo infinito de todos modos, Newtoniano de la gravedad se rompe (a pesar de que el mismo Newton decir que este tipo de red sería gravitacionalmente estable debido a su simetría), y tenemos que mover a la teoría general de la relatividad de todos modos. Los recursos genéticos, a continuación, hacer que toda la parrilla de salida para el contrato de manera uniforme bajo su propia gravedad, y terminar con un Big Crunch no mucho después de configurarlo. (Ya que el GR ecuaciones son locales, esto es lo que predice pasaría a un finito abocelados universo).

Sin embargo, para un juego que probablemente debería estar satisfecho con algo que se parece a la gravedad local. El físico y luego decir, olvidarse de los campos electromagnéticos, el potencial es lo que realmente existe, así que vamos a tratar de encontrar un potencial que satisface el PDE para un espacio libre del inverso del cuadrado de potencial fuera de la celosía puntos y tiene un potencial y de la inclinación de todo el entramado punto.

Se requiere que la solución se integra a través de la pegada junto bordes sería entonces esperemos que determinar una única solución, hasta una constante aditiva, y entonces podemos tomar el gradiente de que la solución para encontrar el campo real de uso.

(Sospecho que en la práctica esto podría hacerse sumando las contribuciones potenciales de la infinidad de punto de masas en cada punto en el espacio. Esto dará lugar a una divergente la serie, pero con una adecuada regularización uno podría esperar de una suma que tienen lo suficiente para satisfacer el PDE, de todos modos).

Esto no funcionaría por una celosía tridimensional, ya que de Gauss, la ley sería necesario, entonces, que la masa total en cada celosía de la célula es igual a cero, pero creo que no hay algo de esperanza para un infinito de dos dimensiones de celosía en un vacío de otra manera el espacio 3D.