Objeto dimensional arbitrario con una relación constante de volumen respecto al volumen del hiper cubo que lo contiene?

Question

Permítanme presentar lo que necesito dando un ejemplo que no funciona:

esfera n con radio 1 y su respectivo hipercubo con aristas de longitud 2. La proporción alcanza ya en la décima dimensión un nivel de menos del 1%.

Mi pregunta esencialmente es si existe un objeto geométrico G con las siguientes características:

1. El hiper-cubo que contiene a G está definido de forma canónica para todas las dimensiones con aristas de longitud L y el centro es el 0.

2. G está contenido en el hiper-cubo mencionado para todas las dimensiones.

3. La proporción entre el volumen de G y el volumen del hiper-cubo es constante en todas las dimensiones.

4. Calcular si un punto elegido del hiper-cubo de forma aleatoria uniforme está contenido en G de manera canónica. (en otras palabras: el cálculo se puede escribir como una fórmula única que depende del número de dimensiones y, por supuesto, L y el punto)

5. Cualquier camino a lo largo de la superficie de G es diferenciable.

6. La proporción del volumen debería ser ajustable o estar entre 0.2 y 0.8.

(el punto 5 quizás no está formulado correctamente. Quiero asegurarme de que G no sea "afilado" / "extraño" (perdón por estos términos). Tal vez sea lo mismo que cuando solicito que G sea integrable por Riemann)

---

Necesito un objeto de este tipo para generar un conjunto de datos de muestra a partir de un espacio dimensional arbitrario para comparar el rendimiento de las SVM (y otros algoritmos de ML) sobre la dimensionalidad del espacio de entrada.

Answer 1

La siguiente es la idea presentada por TZakrevskiy en su comentario: Corrige $n\geq2$, permite que $C:=\{x\in{\mathbb R}^n\>|\>\|x\|_\infty\leq1$ sea el hipercubo de longitud lateral $2$, y deja que $B$ sea la bola unidad en ${\mathbb R}^n$. Para $0<\epsilon<1$ la suma de Minkowski $$G:=(1-\epsilon) C +\epsilon B$$ es un "cubo redondeado" con superficie $C^1$. Existe una fórmula famosa para ${\rm vol}(G)$, pero es obvio que $${{\rm vol}(G)\over {\rm vol}(C)}>(1-\epsilon)^n\ ,$$ que puede ser $>1-\delta$ para cualquier $\delta>0$ dado.

No se puede cuestionar "que cualquier camino a lo largo de la superficie de $G$ sea diferenciable", para cualquier $G$ propuesto. Sin embargo, se puede decir lo siguiente: Dado que el $G$ anterior tiene una superficie $C^1$, tiene sentido considerar curvas diferenciables en $\partial G$.

PD: No entiendo por qué no te gustó la respuesta de Will Jagy, por lo que posteriormente fue eliminada.

Answer 2

El espacio definido por las soluciones de la siguiente desigualdad parece hacer el truco (siendo d las dimensiones del espacio):

$$1-(\sum_{i=1}^{d}x_i^{2d})^{1/d} \geq \frac{1}{d}$$

El espacio para d=2 y d=3 luce "agradable":

La proporción del volumen del espacio de soluciones y el cubo también parece ser bastante consistente en 0.5:

library(rgl)

vol <- function(d) {    
    p <- function(x) 1 - sum(x^(2*d))^(1/d)
    g <- matrix(runif(d*100000, -1, 1), ncol=d)
    s <- apply(g, 1, p)
    v <- ifelse(s >= 1/d, 1, -1)

    if(d==2) plot(g[v==1,], xlim=c(-1,1), ylim=c(-1,1))
    if(d==3) plot3d(g[v==1,], xlim=c(-1,1), ylim=c(-1,1), zlim=c(-1,1))

    sum(v == 1) / nrow(g)
}

ratios <- sapply(1:100,vol)

plot(ratios, xlab="dimensión")