En la definición de cohomology de la gavilla (dicen en Hartshorne), un enfoque común parece definir el Funtor de cohomología como functors derivados. ¿Hay alguna razón conceptual para resolución inyectiva que entran en juego? Es muy confuso y torpe a mí que por qué tomando inyectiva cosas en consideración le permitirá "ampliar" un Funtor exacto izquierdo.
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Ya que todos los demás es tirar categorías derivadas de ti, déjame tomar otro enfoque y dar una imagen más lowbrow explicación de cómo se podría haber llegado con la idea de utilizar injectives. Voy a dar por sentado que desea asociar a cada objeto (gavilla) $F$ un montón de abelian grupos $H^i(F)$ con $H^0(F)=\Gamma(F)$, y que desea una corta secuencia exacta de los objetos para producir una larga secuencia exacta en la cohomology.
Yo también quiero uno más de la asunción, que espero que encuentre razonable: si $F$ es un objeto de tal manera que para cualquier secuencia exacta $0\F\G\H\to 0$ la secuencia de $0\a \Gamma(F)\a \Gamma(G)\a \Gamma(H)\to 0$ es exacta, entonces $H^{i}(F)=0$ para $i>0$. Esto aproximadamente se dice que $H^{i}$ es cero a menos que sea forzado a ser distinto de cero, por una larga secuencia exacta (usted podría ser capaz de ejecutar este argumento sólo el uso de este para $i=1$, pero no estoy seguro). Tenga en cuenta que esto implica que inyectiva objetos triviales $H^{i}$, ya que cualquier corto de la secuencia exacta con $F$ inyectiva divisiones.
Ahora supongamos que venir a través de un objeto de $F$ en el que me gustaría para el cálculo de la cohomology de. Ya sé que $H^{0}(F)=\Gamma(F)$, pero ¿cómo puedo calcular superior cohomology grupos? Puedo incrustar $F$ en un inyectiva objeto $I^{0}$, me da la secuencia exacta $0\F\I^{0}\K^{1}\to 0$. El largo de la secuencia exacta en cohomology me da la secuencia exacta $$0\a \Gamma(F)\a \Gamma(I^{0})\a \Gamma(K^{1})\H^{1}(F)\a 0 = H^1(I^{0})$$
Eso es muy bueno; nos dice que $H^{1}(F)= \Gamma(K^{1})/\mathrm{im}(\Gamma(I^{0}))$, por lo que hemos calculado $H^{1}(F)$ el uso global sólo las secciones de algunas otras poleas. Volveremos a esto, pero vamos a hacer algunas otras observaciones de primera.
La otra cosa que aprender de la larga secuencia exacta asociada a la corta secuencia exacta $0\F\I^{0}\K^{1}\to 0$ es que por $i>0$, usted tiene $$H^{i} I^{0}) = 0\H^{i}(K^{1})\H^{i+1}(F)\a 0 = H^{i+1}(I^{0})$$
Esto es genial! Se dice que $H^{i+1}(F)=H^{i}(K^{1})$. Así que si ya has averiguado cómo calcular $i$-th cohomology grupos, usted puede calcular $(i+1)$-th cohomology grupos! Por lo que podemos proceder por inducción para calcular todos los cohomology grupos de $F$.
En concreto, para calcular $H^{2}(F)$, tendrías que calcular $H^{1}(K^{1})$. ¿Cómo hacer eso? Elige una incrustación en un inyectiva objeto $I^{1}$ y considerar que el largo de la secuencia exacta asociada a la corta secuencia exacta $0\K^{1}\I^{1}\K^{2}\to 0$ y repetir el argumento en el tercer párrafo.
Observe que al proceder inductivamente, de construir la inyectiva resolución $$0\F\I^{0}\I^{1}\I^{2}\\cdots$$ de modo que el cokernel del mapa de $I^{i-1}\I^{i}$ (que es igual a la del núcleo de el mapa de $I^{i}\I^{i+1}$) $K^{i}$. Si lo desea, puede definir $K^{0}=F$. Ahora por inducción se puede conseguir que la $$H^{i}(F) = H^{i-1}(K^{1}) = H^{- 2}(K^{2}) = \cdots = H^{1}(K^{i-1}) = \Gamma(K^{i})/\mathrm{im}(\Gamma(I^{i-1})).$$
Desde $\Gamma$ es a la izquierda exacto y la secuencia de $0\K^{i}\I^{i}\I^{i+1}$ es exacta, usted tiene que $\Gamma(K^{i})$ es igual a la del núcleo de el mapa de $\Gamma(I^{i})\a \Gamma(I^{i+1})$. Es decir, hemos demostrado que $$H^{i}(F) = \ker[\Gamma(I^{i})\a \Gamma(I^{i+1})]/\mathrm{im}[\Gamma(I^{i-1})\a \Gamma(I^{i})].$$
¡Uf! Que era un poco largo, pero hemos demostrado que si usted hace un par de suposiciones razonables, algunas observaciones, y luego sigue tu nariz, te salen con inyectiva resoluciones como una manera de calcular cohomology.
Peter Eisentraut
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3962
Esta es una discusión interesante para alguien criado en los años 60. Ilustra cómo la falta de motivación se apodera de libros desapercibido. De vuelta al Hartshorne estaba siendo escrito todo el mundo estaba inmerso en la norma derivada functor formalismo de Cartan Eilenberg y Grothendieck, axiomatizing construcciones de cohomology a través de complejos. Así, el patrón de este formalismo se explica muy bien por Anton y Andrés de arriba fue tomada por sentado. Como el tema evolucionado, se entiende que acíclicos resoluciones podrían reemplazar a las más categóricamente natural inyectiva. Esta es la esencia de Evan respuesta. Tal vez también hay una tradición en matemáticas libros de dar definiciones sin antecedentes históricos. Siempre he tenido dificultad con cualquier desmotivado definiciones, tales como abstracto "residuos" y moderno de Riemann-Roch teoremas, así que se debe seguir insistiendo a mis alumnos el valor de aprendizaje de la versión original de Riemann, incluso si su objetivo es comprender cohomological y aritmética versiones. De todos modos, excelente pregunta.
Graham
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Aunque estoy lejos de ser un historiador, a mí me parece que la razón inicial para considerar injectives es
-antes de categorías derivadas;
-pero viene después de la tarea de extensión de la izquierda exacta functors.
Para este último, en particular, aparentemente, existen muchas formas de hacerlo. Pero:
inyectiva resoluciones son casi ideales para la comparación de las diferentes definiciones de cohomology.
Es importante tener en cuenta que cohomology fue de alrededor de antes inyectiva resoluciones, apropiados para diferentes situaciones, y entonces la pregunta que surgió de la comparación de varios de ellos cuando todo tenía sentido. Como un ejemplo concreto, usted podría considerar la posibilidad de Cech y De Rham cohomology en un suave colector, ambos con coeficientes reales. Es también obvio que cohomology no fue inicialmente pensado en términos de la falta de exactitud, que, en cualquier caso, puede ser bueno o malo dependiendo de la situación.
Normalmente, usted tiene dos complejos a y O con bastante diferentes constituciones. ¿Cómo podemos entonces comparar sus cohomology? El método estándar es para encontrar una tercera C que admite natural mapas A->C y O->C. a Continuación, se procede a mostrar que ambos de estos inducir isomorphisms en cohomology. Una forma muy básica de este argumento se produce incluso cuando se demuestre que el cohomology calculadas mediante triangulaciones es independiente de la triangulación. Allí, C es el complejo asociado a un común refinamiento.
Incluso en otras situaciones, tiene sentido considerar la C como una 'común refinamiento" de algún tipo. El punto, entonces, es que un inyectiva complejo da un final común de refinamiento en una amplia variedad de situaciones. Esto es debido a que injectives, por su propia definición, recibir mapas (más precisamente, mapa extensiones) muy fácilmente, de modo que usted no necesita para cocinar un C para cada par de a y O. una Vez que el inyectiva definición es todo, las diferentes comparaciones se pueden hacer en una sola carrera con el teorema de que todos acíclicos resoluciones calcular el mismo cohomology como el inyectiva. Por supuesto, `acyclicity' aquí sólo puede ser definido en términos de la definición que utiliza injectives, y la comprobación de que puede ser complicado y que dependen de la situación. Por ejemplo, la comprobación de que la Cech resolución es acíclico en una variedad requiere que la cobertura consisten cuñados, y entonces el conocimiento de alguna de las propiedades de los cuñados. La comprobación de que el buen formas diferenciales en un colector de formar una acíclicos requiere de algunos tecnicismos en las particiones de la unidad y de las extensiones de C-infinito funciones, y así sucesivamente. (Por supuesto, los procesos de verificación son de rutina, una vez que usted está acostumbrado a ellas. Pero cada vez que son examinados de nuevo, que siempre me parecen bastante técnicos de diversas maneras.) En la final, sin embargo, es claro que este enfoque aporta una unidad conceptual para el omnipresente problema de la comparación de cohomology. Es mi mejor conjetura en la real motivación inicial detrás de la definición.
Incluso podría decir que la definición de un inyectiva objeto encarna puramente ilusiones con respecto al problema de las comparaciones. ¿Qué podría ser más ingenuo de pensar que hay una cosa que le libere de una vez de todos los futuros consideración específica de C? La penetración profunda es que los objetos darse cuenta de tales ilusiones no existen bastante a menudo en la naturaleza. Si me pueden agregar un poco de la reflexión filosófica, la definición de injectives ilustra muy bien el sentido de infantil inocencia que Grothendieck considerado como fundamental para que su matemática de la naturaleza. Varias personas han comentado sobre el significado de Grothendieck la auto-evaluación, especialmente en vista de la aparente sofisticación de la resultante de la tecnología. Es interesante identificar el matemático preciso locus de inocencia, aunque sólo sea para ganar algo de sentido cuando la inocencia es probable que el rendimiento de la fruta.
Anonymous User
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Uno conceptual de la razón es, en términos técnicos, que "la derivada de la categoría de (bounded-a continuación), los complejos, es isomorfo a la categoría de (bounded-abajo) inyectiva complejos." En menos de fantasía idioma:
En primer lugar, cuando se trabaja con una sola gavilla Una, lo podemos hacer en un complejo• con uno y todo lo demás 0:
...→0→A→0→0→0→....
A continuación, un "inyectiva resolución" de a es realmente un complejo de injectives I• con una cuasi-isomorfismo Un•→I• (un mapa de los complejos que induce un isomorfismo en cohomology).
Ahora bien, decir Un• y B• son cualquiera (delimitada por debajo) de los complejos de poleas que tengan la misma (cochain) cohomology. No puede ser un mapa de uno a otro, dando lugar a la isomorfismo de sus cohomologies (kernels mod de la imagen), es decir, un cuasi-isomorfismo (qis).
Sin embargo, usted puede encontrar complejos de injectives I• y J•, y los mapas a: • → I•, b: B• → J•, y f: I• → J• tales que a,b son qis, y f es una homotopy de equivalencia (en particular, una qis). Así, "en la medida en cohomology preocupa", se puede reemplazar Una• por I• y B• J•.
El "big picture" razón de esto es que injectives son "flexibles" en términos de la ampliación de los mapas en ellos (que es la forma en que está definido), que es lo que permite la construcción de los mapas en el párrafo anterior, y teniendo en mapas de entre las cosas que es bueno, porque los mapas de transformación muy bien en virtud de la aplicación de functors.
Jay Mooney
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904
Aquí es un divertido aspecto de la historia:
Cuando el aprendizaje de la (co)homología uno normalmente encuentra primero proyectiva resoluciones proyectivas de objetos son mejores para imaginar en la mayoría de la opinión de la gente. Pero en gavilla categorías tienden a ser pocos projectives por dos razones:
En la habitual cohomology de los módulos, el projectivity es un requisito en la estructura del módulo; teóricamente el mapa necesarios en la definición de "proyectiva" siempre existe. De este requisito en la estructura de módulo ha supuesto que debe cumplirse para las poleas de los módulos.
Pero, en segundo lugar, incluso si se le cae el requisito para ser un homomorphism el mapa de las poleas no deben existir: Por definición de "proyectiva" cualquier epimorphism en un proyectiva objeto tiene una sección. Para los conjuntos de esto es la declaración de que el Axioma de Elección ("cada conjunto es proyectiva"). Pero en una gavilla de categoría (que es un topos) de la lógica interna es, en general, intuitionistic, en particular, el axioma de elección no necesita ser válido y uno puede no encontrar la sección ya en el nivel de las poleas de los conjuntos, incluso antes de buscar secciones que son homomorphisms...
