Complejos doble topología algebraica

Question

Voy a través de Bott y Tu y tratando de hacer Ejercicio 9.13 que dice

Cuando un homomorphism $f: K \rightarrow K'$ de doble complejos induce $H_d$-isomorfismo, también induce $H_D$-isomorfismo.

Este es el Paso 2 de una prueba para Kunneth fórmula. El ejercicio parece ser general de doble complejos, pero se utiliza únicamente cuando el doble de complejo es $(C^p(\mathscr{U}, \Omega^q), d, \delta)$.

Tratando de probar que, en general, sigo queriendo que las filas ser exactos, lo que es cierto en el contexto de la prueba, pero no en general. Por eso me pregunto si la declaración en general no es cierto y el ejercicio es probar realmente en su contexto.

Estoy asumiendo Bott y Tu redactada correctamente y es cierto en general, pero tengo miedo de perder el tiempo ya que parecen estar estancados, así que ¿alguien tiene alguna idea acerca de esta declaración?

Notas:

Deje $f_D: H_D^n(K) \rightarrow H_D^{n+1}(K')$ ser inducida $H_D$ homomorphism. Definir $f_d$ igualmente.

Queremos demostrar si $[w] \in ker f_D$$[w] = 0$, es decir, $w \in im D$

Supongamos $w \in K^{0,0}$. Tenemos $f(w) \in im D: 0 \rightarrow K^0$, lo $f(w) = 0 \in im d$. Desde $f_d$ es un isomorfismo ($f^{-1}(im d) \subset im d$), $w \in im d: 0 \rightarrow K^{0,0}$. Por lo tanto $w = 0 \in im D$, por lo que la afirmación es cierta en este caso.

Ahora supongamos $w = w_0 + w_1 \in K^1 = K^{0,1} \oplus K^{1,0}$. Del mismo modo podemos mostrar a $w_0 \in im d$, decir $w_0 = d\beta$. Decir $f(w_0) = d\alpha$ y, por lo tanto, $f(w_1) = \delta\alpha$; a continuación,$f(w_1) = f(d\beta) = df(\beta) = d\alpha)$, lo $f(\beta) - \alpha \in ker d$, lo $f(\delta\beta) - \delta\alpha = f(\delta \beta - w_1) \in ker d$$\delta \beta - w_1 = k \in ker d$. Queremos mostrar a $k$ es en la imagen de $\delta$. Podemos mostrar a $\delta(f(k)) = 0$ desde $f(w) = 0$, similar al primer caso, podemos decir $\delta k \in im d: 0 \rightarrow K^{1,0}$$\delta k = 0$$k \in ker \delta$. Si las filas son exactas, a continuación, $k \in im \delta$ y estamos hecho en este caso.

Así que parece que tenemos esto es cierto sólo en este segundo caso, si $K^{0,0} \rightarrow K^{1,0} \rightarrow K^{2,0}$ es exacta en $K^{1,0}$ que supongo que no es cierto en general.

Answer 1

Por lo que puedo decir, esta declaración es verdadera en las siguientes generalidades:

Supongamos $K$ $K'$ están delimitadas doble (cochain) complejos y $f: K \rightarrow K'$ es un mapa de doble complejos de la inducción de un isomorfismo, ya sea después de tomar vertical u horizontal cohomology de los complejos. A continuación, $f$ induce un isomorfismo en $H^*(Tot(K)) \rightarrow H^*(Tot(K'))$.

(Aquí estoy bastante seguro de $H^*(Tot(K))$ es lo que se llama "$H_D(K)$". "Limitado" significa que a lo largo de cada diagonal hay un número finito distinto de cero... esto es sin duda cierto en nuestro caso, ya que todo lo que vive en el primer cuadrante.)

Los más fáciles de la prueba utiliza una secuencia espectral argumento, pero tal vez eso no es kosher aquí desde Bott y Tu no introducir espectral de secuencias de hasta un poco más tarde.

La prueba sin espectral de secuencias es realmente un diagrama de chase, donde una especie de llevar las cosas hasta la orilla de la doble complejo, donde la vida es buena y las cosas son cero y, a continuación, hacer algo de argumento inductivo. Me voy a dar una rápida reducción y, a continuación, una referencia:

Esto es suficiente para mostrar que: Si $C$ es un almacén de complejo con exacto de filas (o columnas), a continuación, $Tot(C)$ cero, con una homología.

De hecho, acaba de tomar la asignación de cono de la mapa de $f: K \rightarrow K'$. Luego, el largo de la secuencia exacta en cohomology, obtenemos el resultado que queremos.

El lema es a veces llamada la "Acíclicos de la asamblea lema." Usted puede encontrar una primaria de la prueba en Álgebra: Capítulo 0, pero probablemente es mejor hacerlo en la privacidad de su propia casa.