¿Alguien ' s la desigualdad? $(a + b)^2 \le 2(a^2 + b^2)$

Question

De verdad $a, b$ y $(a + b)^2 \le 2(a^2 + b^2)$

¿Esta desigualdad bastante trivial aflora mucho en mi lectura sobre la integración (Lebesgue), se nombra después de alguien ? Se extiende algo obviamente reales positivos a $a^2 + b^2 \le (a + b)^2 \le 2(a^2 + b^2)$.

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Prueba (si la necesita):

$0 \le (a - b)^2 = a^2 + b^2 -2ab \implies 2ab \le a^2 + b^2$
$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ que por anterior $\le 2(a^2 + b^2)$.

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Aplicación:

Si $f, g$ son funciones positivas entonces $(f + g)^2$ es integrable $\iff$ $f^2, g^2$ es integrable desde $f^2 + g^2 \le (f + g)^2 \le 2(f^2 + g^2)$ pointwise.

Answer 1

Esto sigue de la desigualdad de Cauchy-Schwarz $$| \langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle| ^ 2 \leq \langle \mathbf{u},\mathbf{u}\rangle \cdot \langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle,$$ con $\mathbf{u} = (1,1)$ y $\mathbf{v} = (a, b)$ $\mathbb R^2$.

Answer 2

Que la desigualdad probablemente no tiene un nombre ya que es tan básico. En ningún caso puede considerarse como un caso especial de la desigualdad de Young.

Answer 3

Esta desigualdad puede como weel verse como un caso particular de la equivalencia entre $p$-normas en $\Bbb R^n$. De hecho para $1

Sin embargo debo señalar que la equivalencia entre $p$-normas se demuestra usando Cauchy-Schwarz (o más generalmente la Hölder) desigualdad mencionada por @Ihf