¿Es posible cuantificar el número de dimensiones en espacios combinatorios? El espacio en el que estoy particularmente interesado son todas las particiones de un conjunto, delimitadas por el número de Bell, donde los objetos en este espacio son particiones particulares.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Tiene sentido considerar algunos de los conjuntos de objetos combinatorios como espacios (o polytopes) y, por tanto, hablar de la dimensionalidad (por ejemplo, el conjunto de n por n (-1,0,+1)-matrices). Aunque, tal vez la palabra "dimensión" podría ser mejor descrito como "grados de libertad".
Matemáticamente, grados de libertad es la dimensión del dominio de un vector aleatorio, o esencialmente la el número de 'libre' componentes: ¿cuántos los componentes deben ser conocidos antes de la vector está totalmente determinado.
Sospecho que va a ser difícil hablar de dimensionalidad en muchos combinatoria configuración. Imagine, por ejemplo, la construcción de un cuadrado latino, a partir de un vacío de la matriz, la colocación de los símbolos de uno-en-un-tiempo en un no-choque manera. Después de la colocación (decir) la mitad de los símbolos, podemos encontrar: (a) todavía hay muchas terminaciones de este parcial cuadrado latino, (b) no hay terminaciones de este cuadrado latino parcial o (c) no hay una única terminación de este parcial cuadrado latino. Esto parece ir en contra de la noción de la dimensionalidad -- el número de los "componentes" que se necesitan para determinar el cuadrado latino no es fijo.
Usted podría pensar en el conjunto de particiones de un conjunto de n elementos como tener dimensión n. Se requieren n piezas de información para determinar la partición (que establece que cada elemento está en). Pero como Qiaochu puntos Yuan, a quién le importa? No hay ninguna razón para tener una noción de "dimensión" a menos que usted puede utilizar para algo.
