¿Cómo puedo saber que mi matriz es nilpotente?

Question

Yo sólo calcula un 15x15 matriz de la mano :(

No es triangular superior como yo esperaba que sería. Pero mis cálculos de acuerdo con lo que se ofrece en el estudiante la solución.

Mi pregunta es: la solución, a continuación, dice: "esta matriz es nilpotent, por lo que todos los valores propios son cero".

Llego a la parte donde el espectro = {0}.f.f. el operador es nilpotent, pero ¿cómo puedo saber lo que realmente es nilpotent, sólo mediante la observación de la matriz de la que tengo?

EDIT: Aquí está mi cálculo de la matriz:

El espacio vectorial es el espacio de polinomios en dos variables x,y, de grado menor o igual a 4.

Así que, te dejo la base para este espacio el conjunto de $${ 1,x,x^2,x^3,x^4, y, y^2, y^3, y^4, xy, xy^2, x^2y, xy^3, x^2y^2, x^3y }$$

El operador es un operador Laplaciano en polinomios:

f(x,y) --> f(x+1,y) + f(x-1,y) + f(x,y-1) + f(x,y+1) - 4f(x,y), f(x,y) en V.

Con la anterior (ordenado), he aplicado este operador Laplaciano para cada elemento base. Escribí cada resultado como una combinación lineal de la orden de bases. Ahora, tomando la transpuesta de los coeficientes de la matriz w.r.t. la orden de la base es:

$$ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 12& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 12 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} $$

Y gracias a los comentarios (más abajo), ahora veo que mi matriz es de hecho nilpotent, ya que es triangular superior, con ceros en la diagonal principal; en mi boceto inicial de la matriz - yo estaba fuera. :-)

(Yo había pensado que el 6 fueron por debajo de la diagonal.)

Gracias,

Answer 1

Su matriz es una matriz triangular superior estrictamente. Matrices triangulares superiores $n\times n$ son nilpotentes todas puesto que los polinomios característicos, $\det (A-XI_n)$, es igual a $(-1)^nX^n$. Según el teorema de Cayley-Hamilton, $(-1)^nA^n=0\Rightarrow A^n=0$.

Answer 2

Esto es demasiado grande para un comentario, pero pensé que podría ayudar a arrojar algo de luz sobre la razón subyacente por la cual la matriz se debe esperar a ser superior triangular, y de hecho nilpotent (por lo que antes de sospecha de un error en el formato, o tal vez en la elección de la base de la orden).

Su transformación ( $L[f]$ ) puede ser descompuesta en $L[f] = L_x[f] + L_y[f]$, donde

$$ L_x[f(x,y)] = f(x+1,y) + f(x-1,y) - 2f(x,y),$$ $$ L_y[f(x,y)] = f(x,y+1) + f(x,y-1) - 2f(x,y).$$

Ahora note que $L_x$ tiene el efecto de reducir el $x$-grado de cualquier polinomio que usted pone en él, sin aumentar el $y$-grado. Eso es porque los coeficientes de $(1,1,-2)$ suma cero, por lo que el mayor $x$-grado plazo de $f$ se cancela en computación $L_x[f]$ (y no pasa nada a la $y$-coeficientes adjunto a ese término).

[De hecho, podríamos decir más: $L_x$ es un segundo de diferencia operador que actúa como una segunda derivada, por lo que, en realidad, reduce el $x$-grado por $2$.]

Del mismo modo, $L_y$ tiene el efecto de bajar el $y$-grado sin aumentar el $x$-grado. Así que juntos, $L_x + L_y$ tiene el efecto neto de manera reducir el grado de $f$. Moralmente, esta es la verdadera razón por la que la matriz es nilpotent: si seguir disminuyendo el grado suficiente de veces, finalmente, cualquier polinomio de empezar con la voluntad de ir a $0$, así como en la repetición de la diferenciación.

Usted puede haber notado que mientras que el cálculo el efecto de la Laplaciano en cada base de polinomios, en los términos que siempre salen consistió en la base de polinomios que ocurren antes en la lista. Si usted piensa acerca de ello, esto es exactamente lo que significa para su matriz es (estrictamente) superior triangular.

Pero para su elección particular de la base de pedido, hubo un poco de coincidencia involucrados (varios de la base de los polinomios de transformar a $0$, y el orden entre los polinomios no importa mucho). De la discusión anterior, la idea de que cada base de polinomios se descompone en los términos a la izquierda se hace mucho más evidente cuando se ordenan de ellos por el total de la titulación, por ejemplo:

$$1,x,y,x^2,xy,y^2,x^3,x^2y,xy^2,y^3,x^4,x^3y,x^2y^2,xy^3,y^4.$$

Esto también pone de relieve que en preguntas como estas son sensibles a la base de la orden. La elección de un orden diferente (que es equivalente a intercambio de filas junto con la coincidencia de las columnas) se puede convertir un no-triangular de la matriz en una triangular. Por un azar general de la matriz de esta estrategia probablemente no se va a dar frutos, que es probablemente la razón por la que no aparecen en los comentarios anteriores antes de agregar los detalles críticos.]