La función inversa del isomorfismo es también isomorfismo

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo, y que $p:G\rightarrow G$ sea un isomorfismo. ¿Por qué $p^{-1}$ ¿también un isomorfismo?

Sabemos que $p(a)p(b)=p(ab)$ para cualquier elemento $a,b\in G$ . También sabemos $p(a^{-1})=p(a)^{-1}$ para cualquier elemento $a\in G$ (se desprende de la primera afirmación.) ¿Cómo se demostraría $p^{-1}(ab)=p^{-1}(a)p^{-1}(b)$ ?

Answer 1

Simplemente

$$p(p^{-1}(a)p^{-1}( b))=p(p^{-1}(a))p(p^{-1}(b))=ab$$ así que aplique $p^{-1}$ en dos lados.

Answer 2

Es un ejercicio estándar para comprobar que $p^{-1}$ es efectivamente otra biyección. Entonces, $p^{-1}(a)=x$ si $p(x)=a$ .

Ahora bien, si $p^{-1}(ab)=z$ entonces $p(z)=ab$ .

Toma $p^{-1}(a)=x$ y $p^{-1}(b)=y$ entonces $p^{-1}(a)p^{-1}(b)=xy=z$ Esto implica $$p^{-1}(ab)=p^{-1}(a)p^{-1}(b).$$

Answer 3

Porque la inversa está estrictamente relacionada con la propia función, que especialmente da $p^{-1}(y\tilde{y})=p^{-1}(p(x)p(\tilde{x}))=p^{-1}(p(x\tilde{x}))=x\tilde{x}=p^{-1}(y)p^{-1}(\tilde{y})$ . Pero esta relación no es más que un "accidente feliz". La mayoría de las propiedades no se heridan, por ejemplo, la inversa de una función continua no es necesariamente continua o, por ejemplo, la diferenciabilidad.

Además, me gustaría subrayar que -a pesar de que la mayoría de los libros de texto definen el isomorfismo de grupos como un homomorfismo biyectivo- lo que realmente se desea es un homomorfismo cuya inversa sea también un homomorfismo, lo que por suerte sale gratis ;-)