Flecha canónica entre $\varinjlim _C \varprojlim _D F(C,D)\rightarrow \varprojlim_D \varinjlim _CF(C,D)$ $\mathsf{Set}$

Question

Estoy leyendo Borceux del Manual de Categórico Álgebra, vol I, sección 2.13 el filtrado colimits. El autor comienza por la construcción de una canónica mapa $$\varinjlim _C \varprojlim _D F(C,D)\rightarrow \varprojlim_D \varinjlim _CF(C,D)$$ el uso de propiedades universales. Entiendo esta parte.

Entonces, en el mismo comienzo de la prueba de límites finitos conmuta con filtrado colimits en $\mathsf{Set}$, afirma que el uso de las descripciones de los límites y filtrada colimits en $\mathsf{Set}$, la canónica de flecha $\lambda$ está dado por $$\lambda ([(x_D)_{D\in \sf D}])=([x_D])_{D\in \mathsf D} ,\;\;\;x_D\in F(C,D)$$

No entiendo - ¿por qué se debe esta ser la forma en la $\lambda$ se define en este caso?

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Como los comentarios sugieren que, voy a publicar mi intento. La definición de $\lambda$ es como sigue. Denotar por $(p_D)$ el universal cono de $\varprojlim _DF(C,D)$ y $(s_C)$ el universal cocone de $\varinjlim _C F(C,D)$.

Partimos de la cocone $$(\lambda_D)_C=s_C\circ p_D$$ para obtener a través del isomorfismo $$\mathsf{Hom}(\varinjlim_C \varprojlim _D F(-,D),\varinjlim _CF(C,D))\cong \mathsf{Nat}(\varprojlim _D F(-,D),\varDelta \varinjlim _CF(C,D))$$ una flecha (para cada una de las $D\in \mathsf D$) $$\lambda _D:\varinjlim _C\varprojlim _D F(C,D)\rightarrow \varinjlim _CF(C,D)$$

Ahora el isomorfismo arriba es dado por $$f\leftrightarrow \varDelta (f)\circ s$$ donde $s$ es el universal cocone como antes. No entiendo cómo continuar a partir de aquí. No veo la manera de $(\lambda_D)_C$ son de esta forma...

Answer 1

Usted puede estar tratando de ser un poco demasiado formal. He aquí cómo me gustaría explicarlo.

$\lambda$ es un mapa de un colimit, así que tiene componentes de $\lambda_C$ por cada $C$. $\lambda_C$ es un mapa en un límite, por lo que tiene componentes de $\lambda_C^D$ por cada $D$. $\lambda_C^D:\varprojlim_D F(C,D)\to \varinjlim_C F(C,D)$ está dada por la proyección de a $F(C,D)$ desde el límite, la asignación de $F(C,D)$ a la colimit.

Ahora si $F$ es el conjunto de valores, traza el párrafo anterior a través de: comenzar con una clase de equivalencia $[(x_D)]$ con un representante de $(x_D)\in \varprojlim_D F(C,D)$, entonces el mapa en el límite, para cada una de las $D$, la proyección de a$x_D$, e incluyendo a la colimit. Esa es la descripción Borceux sugiere.