Problema sobre la integridad

Question

¿Existe una métrica completa en $(0,1)$ inducir la topología usual?

Mi problema es que no entiendo lo que tengo que hacer para responder a la pregunta. Es un problema de un examen competitivo.

Answer 1

La topología generalmente en $(0,1)$ pasa a un espacio que es homeomorfa a $\mathbb{R}$, los reales. Por lo tanto, vamos a usar este hecho. Que $f\colon (0,1)\to \mathbb{R}$ ser un Homeomorfismo y que $d\colon\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ la métrica habitual en los reales. Entonces definamos una métrica $\delta\colon (0,1)\times(0,1)\to\mathbb{R}$ por $$\delta(x,y)=d(f(x),f(y)).$$ Prove that $\delta$ induces the usual topology on $ (0,1) $ by using the fact that $f$ is a homeomorphism and $d$ induces the usual topology on $\mathbb {R} $.