Deja que $f:[-1,1]\to \mathbb R$ sea $C^2((-1,1))$. Si $f(-1)=1, f(0)=1, f(1)=3$, entonces muestra $\exists c \in (-1,1)$ tal que $f''(c)=2$.

Question

Sea $f:[-1,1]\to \mathbb R$ una función continua que es dos veces diferenciable en el intervalo abierto $(-1,1)$. Demuestra que si $f(-1)=1$, $f(0)=1$ y $f(1)=3$, entonces existe un punto $c \in (-1,1)$ tal que $f''(c)=2$.

Por el TVM, existe $a \in (-1,0)$ tal que $f'(a)=\frac{f(0)-f(-1)}{0-(-1)}=0$.

También, existe $b \in (0,1)$ tal que $f'(b)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=2$.

También podemos decir que existe $d \in (-1,1)$ tal que $f'(d)=\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}=1$.

¿Cómo puedo continuar encontrando $c \in (-1,1)$ tal que $f''(c)=2$?

Answer 1

La clave es el teorema de Taylor.

Tenemos $$f(1)=f(0)+f'(0)+\frac{1}{2}f''(c_1),f(-1)=f(0)-f'(0)+\frac{1}{2}f''(c_2)$$ para algún $c_1\in(0,1),c_2\in(-1,0)$. Sumando obtenemos $$f(1)+f(-1)=2f(0)+\frac{f''(c_1)+f''(c_2)}{2}$$ o $$\frac{f''(c_1)+f''(c_2)}{2}=2$$ y dado que las derivadas cumplen la propiedad del valor intermedio, se sigue que hay un $c\in[c_2,c_1]\subseteq (-1,1)$ con $f''(c) =2$.

Answer 2

Al observar $g(x)=f(x+1)-f(x)$ y aplicando el teorema del valor medio dos veces:

$g$ está definida en $[-1,0]$ y tiene valores límite $0$ y $2$, entonces existe un $c\in (-1,0)$ tal que $g'(c)=f'(c+1)-f'(c)=2$ y por lo tanto existe un $d\in (c,c+1)$ tal que $f''(d)=2$ .