Desigualdades con valores absolutos

Question

Mi pregunta es:

Muestre eso para todos$|x-1|+|x-2|+\dots+|x-10| > 23$

He resuelto el problema anterior como a continuación,

Si$x-1 > 0$ y$x-2 > 0$ y ......$x-10 > 0$, entonces

LHS$= x-1+x-2+x-3+\dots+x-10 = 10x-55 > 23$ (porque$x>10$)

Si$x-1<0$ y$x-2 < 0$ y ......$x-10 < 0$, entonces

LHS$= -x+1-x+2-x+3.....-x+10 = -10x+55 > 23 $ (porque$x<1$)

Si la solución anterior es incorrecta, por favor, dame el método correcto

Answer 1

La función es convexa y $f({11 \over 2}+x) = f({11 \over 2}-x)$. Por lo tanto se produce un $\min$ en % o $x={11 \over 2}$ $f({11\over 2}) = 25$.

(De hecho, el $\min$ se produce para $x \in [5,6]$.)

Answer 2

Sólo tiene que utilizar la desigualdad del triángulo:

$$|x-1|+|x-2|+\dots+|x-10| = |1-x|+|2-x|+\dots+|5-x|+ |x-6|+|x-7|\dots+|x-10| >$$ $$|1-x+2-x+...+x-10| = |15-6-7-8-9-10| = |-25|$$

Answer 3

Sugerencia: por la desigualdad de triángulo $|x-1|+|x-10| = |x-1|+|10-x| \ge |x-1+10-x|=9$. Del mismo modo, $\,|x-2|+|x-9|\ge 7\,$, $\,|x-3|+|x-8|\ge 5\;\ldots$

Answer 4

La LHS es una por trozos linear función, por lo que sólo puede alcanzar un mínimo en un punto de "girar", cuando uno de los argumentos es cero.

Tenemos

$$|1-1|+|2-1|+\cdots|1-10|=0+1+\cdots 9=45,$$

$$|2-1|+|2-2|+\cdots|2-10|=1+0+1+\cdots 8=37,$$

$$\cdots$$

y el mínimo se logra con

$$|5-1|+|5-2|+\cdots|5-10|=4+3+2+1+0+1+\cdots 5=25.$$

---

Algebraicamente, tenemos

$$Sk=\sum{i=1}^{k-1}(k-i)+\sum_{i={k+1}}^{10}(i-k)=k^2-11k+55$$

y el mínimo se encuentra a ambos lados del mínimo continuo.