La mayoría de las fundaciones constan de dos componentes: una lógica (es decir, un sistema formal de razonamiento), y un axiomatization (es decir, una descripción en el lenguaje formal de que el sistema de razonamiento) de un sistema básico de objetos matemáticos en los que la mayoría, si no todos los informales de las matemáticas puede ser codificado.
El significado más común de la frase de la fundación de las matemáticas es una fundación cuya lógica está dada por la lógica de primer orden. En este sentido usual entonces, las distinciones entre las diferentes bases es una distinción con respecto a lo que el sistema de básica de los objetos matemáticos.
Cuando la teoría de conjuntos es considerado como una base de matemáticas, el sistema de los objetos matemáticos es la clase de conjuntos equipado con una membresía relación $\in$ la satisfacción de ciertos axiomas (por ejemplo, ZFC).
Cuando la categoría de la teoría es considerada como un fundamento de las matemáticas, el sistema de los objetos matemáticos es una categoría, es decir, un par de clases que consisten, respectivamente, de los objetos de la categoría y los morfismos de la categoría, equipado con determinados auxiliares de funciones entre las clases (dominio, codominio, identidad, parcialmente definida la composición) que satisface ciertos axiomas.
Dos puntos están en orden.
En primer lugar, las clases están presentes en las dos bases. En realidad, las clases son ineludibles cuando se utiliza la lógica de primer orden, donde la clase es simplemente una clase de equivalencia de fórmulas (es decir, declaraciones), bajo la lógica de la equivalencia. En otras palabras, una clase en la lógica de primer orden es una colección de objetos especificados mediante una fórmula en lógica de primer orden (la extensión de la fórmula).
Segundo, la distinción entre clases y conjuntos, por lo tanto entre grandes y pequeños categorías en el marco teórico, parece vacuo: clases y conjuntos de diferentes tipos de cosas. Esto es debido a que la distinción correcta dibujar no es entre clases y conjuntos, pero adecuada entre clases y clases pequeñas. Una clase es pequeña si es la clase de elementos de un conjunto (formalmente, la clase $\phi(x)$ es pequeña si $\exists x:\phi(y)\leftrightarrow y\in x$ es comprobable). De lo contrario, la clase es adecuada.
Russel paradoja, a continuación, muestra que existen adecuado de las clases. Lo que esto indica es una limitación de la lógica de primer orden, debido a que la teoría de conjuntos se supone que será una axiomatization de cómo nos gusta manipular colecciones, y resulta que no sólo las colecciones descrito por la lógica de primer orden no directamente admitir estas operaciones, pero que incluso si tratamos indirectamente implementar las manipulaciones de las colecciones que nos gustaría hacer, no seríamos capaces de manipular todas las colecciones de esta manera.
Los dos párrafos anteriores tienen un análogo en categorías bases. En primer lugar, observar que la clase de elementos de un conjunto $X$ es el mismo que el de la clase de las funciones de un singleton $\{*\}\to X$. Por lo tanto, podemos definir una clase para ser pequeño , si es (en bijection con) la clase de morfismos a un objeto $X$ a partir de algunas terminal fijo objeto.
Segundo, no es demasiado difícil de mostrar a través de una diagonalización argumento de que si una categoría es tal que, para algunos de la clase que contiene todos los morfismos de la categoría, todos los objetos de la categoría admite un poder por el que la clase, y luego entre los dos objetos no existe en la mayoría de uno de morfismos. En consecuencia, si queremos tener una buena categoría de teoría, necesitamos una distinción entre clases pequeñas para que una categoría puede ser completa (tienen todos los límites indexados por pequeños diagramas, es decir, admitir que todas las pequeñas construcciones) sin ser trivial.
Finalmente, lo que hace que una idea de pequeñez bueno para los propósitos de la categoría teoría es ser lo que es a veces llamado un arity clase, que a grandes rasgos dice que una familia de colecciones indexadas por una pequeña colección se compone de pequeñas colecciones si y sólo si sus distintos de la unión es una pequeña colección. Importante ejemplo de clases pequeñas, en este sentido, el finito de clases, y, en teoría de conjuntos, las clases de elementos de regular los cardenales.
