Función beta multilazo de la teoría gauge (*sin* diagramas de Feynman)

Question

Me gustaría señalar la hermosa sección 4.3 (página 42) de estas notas de clase. Creo que esta es la exposición más educativa que he visto en cualquier lugar sobre la función beta de Yang-Mill. Lo que más me gusta es que lo hace sin utilizar la diagramatica (y su confusa combinatoria)(..aunque por supuesto son equivalentes..pero me resulta más cómodo este lenguaje..)

Tengo las siguientes preguntas en relación con lo anterior,

• En lo anterior el autor ha escogido los términos cuadráticos en las fluctuaciones en la ecuación 4.40 y ha evaluado el determinante y eso da la acción efectiva de 1 lazo.

  ¿Qué haría uno en este método si tuviera que pasar a 2 bucles o más? ¿Cuál es la relación entre el número de órdenes que uno mantiene en el campo de la fluctuación y el resultado de los bucles en que se traduce? (..si hay alguna referencia que muestre el paso a bucles superiores en este método )

• ¿Puedo utilizar el método de estas notas para evaluar el gauge corregido o el propagador del fermión? Si alguien pudiera resumir los pasos..

  Aquí el autor ha elegido un gauge de fondo constante y estático (¿por qué?) y por lo tanto no le queda en 4.40 ningún término que sea una derivada del campo gauge de fondo. Supongo que habría que levantar esta restricción si se tuviera que calcular la corrección del propagador del campo gauge. Con esta suposición sobre el campo gauge de fondo levantada, supongo que uno tendría que calcular entonces el $\Gamma^{1-loop}$ como se define en la ecuación 4.41, y escoge los términos cuadráticos en el campo gauge en ella e invierte eso.

• En lo anterior, el autor ha escogido de $\Gamma^{1-loop}$ sólo los términos cuárticos del campo gauge y calculamos la contribución divergente al mismo que es el desplazamiento de la constante de acoplamiento gauge. Pero la constante de acoplamiento gauge también está multiplicando el término cúbico en el campo gauge y hay un desplazamiento de 1 bucle incluso allí. ¿Qué pasa con eso? ¿Existe algún teorema que garantice que la función beta derivada por el término cúbico hubiera sido la misma?

Supongo que como incluso después de elegir un campo gauge constante y estático se puede seguir un cambio en la constante de acoplamiento gauge a través de un término cuaternario, tiene sentido. Pero si uno estuviera en una teoría (¡o en la gauge del cono de luz!) en la que la constante de acoplamiento gauge existiera sólo en un término que tiene derivadas del campo gauge, entonces supongo que esta elección de un fondo no funcionaría.

Me gustaría saber una forma precisa de entender lo anterior. (...también está la cuestión de si la acción efectiva de 1 bucle hecha de esta manera puede arrojar términos que fueron eliminados por una elección de calibre..y entonces qué haría uno..)

Answer 1

De acuerdo, su pregunta tiene varias partes, pero espero haber respondido a la mayoría de ellas de forma satisfactoria.

El autor de las notas está utilizando esencialmente el método del campo de fondo (BFM) para calcular la acción efectiva.⁰ Muchas de sus elecciones se derivan de su enfoque en el cálculo de sólo el potencial efectivo de un lazo. El método del campo de fondo funciona en todas las teorías con escalares, gauge, fermiones, gravedad, supercampos¹, etc. También funciona en todos los bucles, sin embargo, en los bucles superiores, los diagramas siguen siendo útiles para organizar los cálculos.

Dos de los trabajos más importantes no utilizaron la diagramatica: El de Schwinger Sobre la invariancia gauge y la polarización en el vacío y el cálculo posterior de dos bucles de Ritus . Sin embargo, dado que la teoría de perturbaciones BFM sigue utilizando una separación propagador-interacción, los diagramas son naturales.

Una de las ventajas de utilizar los cálculos de BFM es que sólo hay que calcular los diagramas de "vacío", es decir, los que no tienen patas externas. Esto facilita la diagramación y la combinatoria. La otra ventaja es que los cálculos son covariantes gauge. La contrapartida es el uso de propagadores más complicados.

Se utiliza más a menudo para calcular correcciones de baja energía (como el potencial efectivo para campos escalares) manteniendo sólo los términos inferiores en la expansión de la derivada/momento. En particular, para encontrar el potencial efectivo, sólo se necesitan campos escalares de fondo constantes. Para encontrar los términos cinéticos, se necesitan campos con un máximo de dos derivadas.

Sin embargo, también puede utilizarse para construir teorías de perturbación que son muy similares a los cálculos del diagrama de Feynman estándar, pero son explícitamente covariantes bajo transformaciones gauge. Buenos ejemplos de ello son Métodos mejorados para los supergráficos y Nuevos supergráficos mejorados .
Un buen cálculo de tres bucles de la función beta de Yang-Mills utilizando el método del campo de fondo covariante es hep-th/0211246 . El paso a través de la configuración del cálculo es bastante lento, por lo que es un buen documento para aprender.

El BFM se basa en la siguiente idea, véase, por ejemplo Abbott's El método del campo de fondo más allá de un bucle pero el resultado puede extenderse a otras teorías con desdoblamientos cuánticos de fondo más complicados:
Dejemos que $\Gamma[v]$ sea la acción efectiva (transformada de Legendre de la función generadora conectada $W[J]$ ) donde $v=v(J)=\frac{\delta W[J]}{\delta J}$ es el campo "clásico" generado por las fuentes $J$ . Si modificamos la acción clásica dividiendo los campos cuánticos en cuántico + fondo, entonces la acción efectiva modificada resultante $\Gamma[v(j),V]$ ahora depende de ambos $v(J)$ y los campos de fondo $V$ . Se puede demostrar (bajo supuestos razonables) que $\Gamma[0, V] = \Gamma[V]$ . La acción efectiva depende del gauge,² y el resultado anterior es cierto en el gauge del campo de fondo.

En las notas que enlazaste, la función beta se encontró a partir de la corrección cuártica, sin derivadas. También se puede encontrar a partir del término cinético gauge. Esto funciona, porque el método es covariante gauge de fondo, lo que obliga a que el acoplamiento gauge y las renormalizaciones de campo estén relacionados. De hecho, el campo potencial gauge de fondo nunca necesita salir de la derivada covariante y la función beta podría encontrarse a partir de la invariante $\mathrm{tr}(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})$ término. Esto se hizo en el documento original de Schwinger. Véase Abbott para profundizar en este punto. Lee también sobre la expansión de Schwinger-Dewitt para saber cómo controlar algunas expansiones covariantes en los cálculos de la acción efectiva. El documento clásico es el Physics Report de Barvinsky y Vilkovisky . Ver Avramindi y Kuzenko y McArthur para más información sobre los métodos covariantes.

Para un buen cálculo de BFM de 2 lazos con fondos fermiónicos, véase Jack y Osborn . Aunque no calculan las partes finitas de los propagadores. Los cálculos de baja energía con fondos de fermiones pueden ser bastante complicados, lo que también hace que algunos cálculos de baja energía del BFM supersimétrico sean complicados.

⁰ Dicho esto, las notas recogen algunos buenos argumentos sobre la estructura de la acción efectiva y el potencial efectivo.
¹ Aunque, en algunas teorías (por ejemplo, la supersimetría N=1), el desdoblamiento cuántico-fondo tiene que ser no lineal.
² Existe una versión del potencial efectivo independiente de la galga, pero parece que no es muy práctico calcularlo o utilizarlo, al menos, no se utiliza mucho. Véase, por ejemplo, Vilkovisky o Becchi ...